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Kapitel 2 : Dimension Drei
M. C. Escher erzählt
die Abenteuer
zweidimensionaler Geschöpfe, die sich dreidimensionale Objekte
vorzustellen versuchen.
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M. C. Escher
(1898-1972) war ein
außergewöhnlicher Künstler, dessen Arbeiten insbesondere bei
Mathematikern Interesse erregten. Seine Gravuren zeigen uns paradoxe
Welten, sowie Parkettierungen (Kachelungen) mit verblüffenden
Symmetrien und unendlichen Perspektiven: genau das, was Mathematiker
fesselt! Auf der offiziellen
Website finden Sie eine Biographie und Reproduktionen seiner Gravuren.
J.
S. Bach (1685-1750) ist ebenfalls einer der
Künstler, der
Mathematiker fasziniert (neben anderen!), denn auch er präsentiert uns
erstaunliche Symmetrien.
Kurt
Gödel (1906-1978) war ein Mathematiker, der die
Logik
revolutioniert und Symmetrien zwischen einem Ganzen und seinen
Bestandteilen untersucht hat.
Das herausragende Buch Gödel, Escher, Bach - ein Endloses Geflochtenes
Band
erforscht die grundlegenden Beziehungen in den Arbeiten dieser drei
außergewöhnlichen Figuren.
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Eine sehr bekannte Gravur von Escher trägt den
Titel Reptilien.
Da im Film alles etwas schnell geht, werden wir uns hier etwas mehr
Zeit
nehmen, sie gebührend zu bewundern. Auf einer Seite des Skizzenbuchs
sehen wir eine Parkettierung, in der sich flache Drachen perfekt
aneinander fügen.
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Das ist das Bild einer flachen
Welt: die in
diesem Blatt lebenden Drachen kennen nur dieses Blatt, vom Raum um sie
herum wissen sie nichts. Wir sehen sie und wissen, dass ihre
flache
Welt nur ein Blatt in einem Notizbuch innerhalb unseres Raums ist, die
flachen Drachen davon aber nichts ahnen.
Aber einer dieser Drachen
findet einen Weg
aus der Ebene zu einen Besuch in unserer Welt: er wird im unteren Teil
immer dicker, klettert auf ein Buch und verwendet dann ein
Zeichendreieck als Brücke zu einer Erhebung in Form eines Dodekaeders,
bevor seine Dicke wieder abnimmt und er in seine flache Welt
zurückkehrt, bereichert um die Erfahrung eines Forschers, der gerade
einen neuen Kontinent entdeckt hat.
Die Gravur lädt zu einer philosophischen
Reflexion ein:
wenn diese Drachen von der Existenz einer sie umgebenden Welt nichts
wissen, könnten wir uns dann in derselben Situation befinden? Könnte es
eine unserer Welt übergeordnete Welt geben, zu der wir mit unseren
Sinnen keinen Zugang haben? Außerdem enthält die Gravur viele
philosophische
Anspielungen. Wir sehen die vier Elemente, die nach Plato die Welt
bilden: Wasser im Glas, aus den Nasenlöchern des Drachen ausströmende
Luft, Erde im Topf, die Streichholzschachtel verweist auf Feuer, und
wir sehen sogar das Dodekaeder, das für Plato's fünftes Element steht,
der "Quintessenz". Könnte die Zigarettenpapiermarke "Job" eine
biblische Anspielung sein?
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Alle
M.C. Escher Werke ©
2008 The M.C. Escher Company, the Netherlands.
Alle Rechte vorbehalten. www.mcescher.com
Verwendung mit Genehmigung. |
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Das Ziel dieses Kapitels ist die Vorbereitung auf
die
vierte Dimension. Um uns diese besser vorstellen können werfen
wir einen Blick auf die Ansätze, mit denen wir den flachen Drachen die
Existenz einer dritten Dimension erklären würden. Wir stellen uns also
vor, dass wir der vom Himmel (dem Philosophen? dem Mathematiker?)
auserwählte Drache sind, der das Privileg zum Verlassen des Blatts und
dem Erklettern des Dodekaeders hatte. Wir befinden uns im
dreidimensionalen Raum und sehen verschiedene Objekte, wie einen Topf,
ein Buch und ein Dodekaeder, und unsere Aufgabe ist es nun, diese
Objekte den anderen Drachen zu "zeigen", die sie nicht sehen können,
weil ihre Sinne auf das Blatt beschränkt sind, in dem sie leben.
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2. "Flachland"
Für dieses Kapitel hätten wir
ebenso gut Edwin
Abbott als Erzähler wählen können,
ein im 19.
Jahrhundert lebender englischer Pastor und Autor eines Buchs mit dem
wundervollen Titel FlatLand.
In diesem Buch
erzählt er die Geschichte einer flachen Gesellschaft, in der die
Charaktere
Dreiecke, Quadrate, Kreise und Liniensegmente sind. Diese Gesellschaft
besitzt sehr komplexe Verhaltensregeln und der besondere Charme des
Buchs ist die Karikatur der viktorianischen Gesellschaft des 19.
Jahrhunderts, die selbst äußerst komplex war.
Der Held des Buchs, ein
Quadrat, ist
vergleichbar mit unserem Drachen, denn er verlässt ebenfalls nach und
nach die Ebene und gewinnt Einsicht in andere Dimensionen. Der
Untertitel des Buchs lautet "A Romance of Many Dimensions" (dt. "Eine
Romanze mit vielen Ebenen".) Dieses Buch
ist ein echtes Juwel und gleichzeitig eine der ersten Popularisierungen
der Wissenschaft.
Der vollständige
Text
ist online verfügbar.
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3. Die Platonischen Körper
Welche Objekte unseres Raums sollten wir den
flachen
Drachen zeigen? Wir könnten ihnen natürlich einen Blumentopf oder ein
Buch zeigen, aber um im philosophischen Rahmen zu bleiben werden wir
ihnen die fünf platonischen Körper zeigen.
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Tetraeder |
Oktaeder |
Würfel |
Dodekaeder |
Ikosaeder |
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Einige dieser Objekte sind uns
wohlbekannt,
beispielsweise der Würfel. Andere, wie das Tetraeder, begegnen uns nur
gelegentlich. Wieder andere sind sehr selten und man muss schon genau
hinsehen, um sie in der Natur zu entdecken.
Nehmen wir beispielsweise das
Ikosaeder mit
seinen 12 Ecken. Wenn wir die Ecken wie im Bild gezeigt abschneiden
erhalten wir ein Objekt mit 20 Sechsecken und 12 Fünfecken. Die
Fünfecke stammen von den 12 abgeschnittenen Ecken und sie
entsprechenden den Flächen des Dodekaeders. Möglicherweise erinnert Sie
das Endergebnis ja an einen Fußball...
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Diese Objekte nennt man Polyeder,
was Griechisch ist und übersetzt "viele Flächen" bedeutet! Wir wollen
an dieser Stelle aber nicht in eine komplizierte Theorie von Polyedern
abschweifen, sondern den Drachen lediglich fünf schöne räumliche Körper
zeigen. Vielleicht erklären wir ihnen dann auch noch was ein Fußball
ist.
Es gibt sehr viele Polyeder
(tatsächlich
sogar unendlich viele), aber nur fünf davon sind regelmäßig. Auch hier
werden wir wieder nicht tiefer in die Definition dieses Begriffs
einsteigen, sondern nur festhalten, dass jeder der fünf regelmäßigen
Polyeder aus gleichartigen Flächen besteht (beispielsweise sind alle
Flächen des Dodekaeders regelmäßige Fünfecke mit identischen
Kantenlängen) und außerdem gleichartige Ecken besitzt (beispielsweise
entspringen jeder Ecke beim Würfel genau drei Kanten). Diese
Eigenschaften reichen (fast) schon zur Beschreibung der Körper, die wir
den Drachen zeigen wollen.
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Bild |
Name |
Flächen |
Ecken |
Kanten
(Länge L) |
Oberfläche |
Volumen |
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Tetraeder |
4 |
4 |
6 |
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Oktaeder |
8 |
6 |
12 |
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Würfel |
6 |
8 |
12 |
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Dodekaeder |
12 |
20 |
30 |
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Ikosaeder |
20 |
12 |
30 |
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Falls Sie allgemein mehr über Polyeder wissen
möchten
schlagen Sie am besten hier
nach. Weiteres zu den fünf regelmäßigen
Polyedern, ihrer Geschichte und ihrer Symmetrie finden Sie hier.
Diese fünf Objekte gehören zu den meistverehrten Objekten der
Mathematiker, denn sie symbolisieren das Konzept der Symmetrie, worauf
der Film leider nicht eingeht.
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4. Schnitte
Um den Drachen ein Tetraeder zu
erklären,
könnten wir es zunächst in Scheiben schneiden. Diese Idee ist sehr alt
und Edwin Abbott verwendet sie häufig in seinem Buch. Sie liegt auch
der Tomografie
zugrunde, einem bildgebenden Verfahren in der Medizin, bei dem man den
Körper schichtweise aufnimmt und anschließend aus diesen Querschnitten
das dreidimensionale Bild rekonstruiert.
Wenn ein Polyeder im Raum
umherwandert und
dabei die Ebene der Drachen schneidet erhält man ein Polygon als
Schnittfläche. Bei der weiteren Wanderung des Polyeders verändert sich
das Polygon und verschwindet gänzlich, sobald das Polyeder die Ebene
wieder verläßt (wobei wir davon ausgehen, dass Polyeder Wände
durchlaufen können wie das "passe-muraille" von Marcel
Aymé!) Die Drachen sehen nur das Polygon, aber sie sehen es
auf
eine dynamische Art, denn es verändert laufend seine Form. Mit
zunehmender Erfahrung bekommen sie (vielleicht) irgendwann eine
intuitive Vorstellung von der wahren Natur eines Polyeders, obwohl sie
es nie räumlich sehen können.
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All
dies wirft viele Fragen auf. Wenn die Drachen "in" der Ebene sind, wie
können sie dann ein Polygon sehen? Eine knifflige Frage! Und man kann
sie nicht fragen. Mit ein wenig nachdenken wird Ihnen aber sicher
auffallen, dass wir uns in derselben Situation befinden. Wie sehen wir
dreidimensionale Objekte, deren Abbildungen auf unsere
zwei-dimensionalen Retinae projiziert werden? Hierauf gibt es mehrere
Antworten. Zuerst einmal haben wir ja zwei Augen, die nicht exakt
dasselbe sehen. Unser Gehirn nutzt diese beiden zweidimensionalen
Bilder zur mentalen Rekonstruktion des dreidimensionalen Bildes.
Außerdem liefern Effekte wie
Schatten,
Lichter, etc. teilweise Informationen über unsere Entfernung zu anderen
Objekten.
Zuletzt, aber vielleicht vor
allem anderen,
profitieren wir von unserer Erfahrung mit der Welt, in der wir leben.
Wenn wir das Bild eines Fußballs sehen, dann erkennen wir ihn, obwohl
das Bild nur zwedimensional ist, weil wir bereits andere Fußbälle
gesehen und berührt haben.
Somit sollten wir nicht zögern
und
einfach annehmen, dass unsere Drachen zwei Augen und sehr viel
Erfahrung
mit ihrer Welt haben. Wenn vor Ihnen ein Sechseck erscheint, dann sind
Sie natürlich in der Lage dieses als solches zu erkennen. In Abbott's
Buch werden all diese Frage auf äußerst amüsante Weise behandelt.
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Anklicken
des Bildes
startet den Film. |
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Im
Film sehen wir, wie die fünf regelmäßigen
Polyeder durch die Blattebene wandern und können dabei die
Veränderungen der erzeugten Schnitte/Polygone beobachten. Diese
Veränderungen sind nicht einfach vorhersehbar, denn sie hängen von der
Orientierung des Polyeders zur Ebene und der Bewegungsrichtung ab. Geht
beispielsweise ein Würfel mit einer seiner Seiten parallel zur Ebene
durch diese hindurch ist es wenig erstaunlich, dass wir als
Schnittfläche ein Quadrat sehen. Wenn der Würfel allerdings mit einer
seiner Diagonalebenen senkrecht auf die Ebene trifft, dann sehen wir
unter anderem ein regelmäßiges Sechseck... was vielleicht nicht mehr so
offensichtlich ist!
Nachdem alle Polyeder durch die
Ebene
getreten sind präsentiert Ihnen Escher noch ein paar Übungen. Er zeigt
eine Sequenz polygonaler Schnitte in der Ebene und Sie müssen
herausfinden, welches Polygon gerade durch die Ebene geht, so als wären
Sie einer der Drachen. Viel Glück bei der Übung, die nicht einfach ist
(wie Sie noch sehen werden.) Da die Methode der Schnittbilder
zweifelsohne ihre Grenzen hat werden wir uns nun nach anderen
Methoden umschauen...
5. Stereografische Projektion
Somit
kommen wir zur zweiten Idee, die zunächst ein wenig bizarr erscheinen
mag,
später aber noch außerordentlich nützlich sein wird (wenn wir mit dem
"flach sein" dran sind, während uns jemand die vierte Dimension im
Rahmen unserer dreidimensionalen Möglichkeiten erklärt...) Wir haben ja
bereits gelernt, wie man eine Kugel auf eine Fläche projizieren kann
und wir haben dabei auch gelernt, dass man ein brauchbares Abbild der
Geographie der Erde erhält, obwohl Entfernungen nicht erhalten bleiben.
Dies gilt vor allem dann, wenn man die Erde beim Rollen über die Ebene
beobachtet.
Dies, das Rollen über und die
stereografische
Projektion auf die Ebene,
könnten wir auch mit den Polyedern probieren. Ein Problem ist
allerdings,
dass man einen Würfel nicht rollen kann, denn er ist nicht rund! Wir
"blasen" daher zuerst einmal alle Polyeder auf, bis sie schön rund
sind.
Als Beispiel stellen wir den Würfel in eine in den Ecken exakt passende
Kugel.
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Die
Oberfläche des Würfels besteht aus sechs Flächen. Wir projizieren nun
diese sechs Flächen radial vom Zentrum der Kugel aus auf die
Kugeloberfläche. Man könne auch sagen, dass wir den Würfel aufblasen,
bis er
rund ist. Die Kugel besteht nun aus sechs Bereichen, die jetzt
natürlich keine Quadrate mehr sind, denn ihre Kanten sind Kreisbögen.
Aber wir bekommen so ein gutes Abbild des Würfels, dass wir jetzt auch
wie einen Ball rollen können.
Jetzt
können wir uns die Erde mit sechs
Kontinenten vorstellen, die den sechs Flächen des aufgeblasenen Würfels
entsprechen. Diesen aufgeblasenen Würfel können wir nun, genauso die
Erde im ersten Kapitel, stereografisch auf eine Ebene abbilden und auf
dieser Ebene umherrollen. Der Tanz der Kontinente wird zum Tanz der
sechs Flächen eines Würfels! Da die ehemaligen Würfelflächen nun aber
Kreisbögen sind und wir wissen, dass Kreise auf der Kugel von der
stereografischen Projektion als Kreise oder Linien auf der Ebene
abgebildet werden, zeigt die Projektion des aufgeblasenen Würfels auf
der Ebene "quadratische" Flächen mit Kreisbögen oder Linien als Kanten.
Der flache Drache sieht die Projektion: er muß sich nun vorstellen,
dass
er sich in der Tangentialebene am Südpol einer Kugel befindet, die er
naturgemäß nicht sehen kann, und sieht dabei die sechs Flächen des
aufgeblasenen Würfels als Projektion auf diese Ebene. Das für ihn
sichtbare Bild in der Tangentialebene enthält genug Informationen, um
den Würfel verstehen zu können: er kann die Ecken, Kanten und Flächen
zählen und ihre relativen Positionen zueinander erkennen. Dreht sich
die Erdkugel zusätzlich, erhält er über den Tanz der Flächen sogar eine
noch genauere Vorstellung vom eigentlichen Objekt.
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Anklicken
des Bildes
startet den Film. |
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Die
letztgenannte Methode wird im zweiten Teil dieses Kapitels vorgestellt.
Zuerst sehen wir die Szene als Übersicht, so wie sie einem
dreidimensionalem Wesen erscheint, das alles sehen kann: das Polyeder,
das aufgeblasene Polyeder, die Kugel und die Projektion auf die Ebene
der Drachen. Danach nehmen wir die Ansicht der flachen Drachen ein, die
nichts außer der Projektion sehen können. Diese Methode ist zwar auch
nicht
einfach, aber sie erscheint einfacher als die Methode mit den
Schnitten.
Diese Übungen sind für die folgenden Kapitel
nützlich. Vergessen Sie nicht: bald sind Sie in der Lage des armen
dreidimensionalen Menschen, der die vierte Dimension leider nicht sehen
kann! Jemand mit dieser Fähigkeit wird dann versuchen Ihnen zu
erklären, was er sieht, und er wird dabei ebenfalls Schnitte und
Projektionen verwenden.
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