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Kapiteln 3 und 4: Die Vierte Dimension
Der
Mathematiker Ludwig Schläfli spricht über Objekten in
der vierten Dimension und zeigt uns eine Reihe von
regelmäβiger Polyedern in vierter Dimension;
sonderbare Objekte mit 24, 120 und sogar 600 Seiten!
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1. Ludwig Schläfli und die
andere
Wir haben viel gezweifelt, um einen Ansager
für dieses Kapitel zu wählen. Die Idee der vierten
Dimension ist nicht Folge von einem einzigen Mann und viele kreative
Geiste sind nötig gewesen, um sie in der Mathematik zu
verstehen und zu begründen. Unter den Vorläufern
können wir Riemann erwähnen. Er wird der Ansager des
neunten Kapitels sein und hatte zweifellos eine sehr genaue Idee der
vierten Dimension seit Mitte des 19. Jahrhunderts.
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Wir haben Ludwig Schläfli
(1814-1895) das Wort erteilt, teilweise, um uns an diesen originalen
Geist, der heutzutage sogar unter den Mathematiker fast vergessen ist,
zu erinnern. Er war einer der Ersten, denen bewusst worden ist, dass
wir uns den vierdimensionalen Raum vorstellen können, und dass
wir Geometrietheoreme bezüglich vierdimensionaler
mathemathiken Objekten beweisen können, selbst wenn unsere
physischer Raum ein dreidimensionaler Raum aussieht. Für ihn,
die vierte Dimension war eine reine Abstraktion, aber es besteht keine
Zweifel, dass er nach seine jahrelange Untersuchung sich besser in der
vierten Dimension als in der dritten Dimension fühlte. Sein
Hauptwerk trägt den Titel „Theorie der vielfachen
Kontinuität” und wurde im 1852 publiziert. Man muss
zugeben, dass wenige Leser die Wichtigkeit dieses Buches zu seiner Zeit
bewertet haben. Es ist nötig gewesen, bis auf den Beginn des
20. Jahrhunderts zu warten, damit die Mathematiker den Nutzen solches
groβartigen Werkes verstünden. Für weitere
Informationen über Schläfli, sehen Sie hier
und dort
(auf Englisch).
Sogar unter den Mathematiker, die vierte Dimension
ist für langer Zeit geheimnisvoll und unmöglich
gehaltet worden. Für das allgemeine Publikum ruft oft die
vierte Dimension Sciencefictionromane hervor, in denen
parapsychologische Phänomene geschehen, oder die
Relativitätstheorie Einsteins: „die vierte Dimension
ist die Zeit, oder?“. Das heiβt mathematische und
physiche Fragen verwechseln. Wir werden weiter vorne das
Thema kürzlich wieder aufnehmen. Zuerst versuchen wir das, die
Idee der vierten Dimension zu begreifen, sowie Schläfli macht,
als Werk des Geistes.
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2. Die Idee von Dimension
Schläfli erinnert uns an Dingen, die wir
im vorigen Kapitel gesehen haben, und dafür nutzt er eine
Tafel. Eine Gerade hat 1. Dimension, weil die Lage eines Punktes auf
einer Gerade nur durch eine Zahl beschrieben ist. Es handelt sich um
die Abzisse eines Punktes, behaftet mit einem Minus, falls der Punkt
links von Ursprung liegt oder mit einem Plus, falls er rechts davon
liegt.
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Schläfli erinnert uns an Dingen, die wir
im vorigen Kapitel gesehen haben, und dafür nutzt er eine
Tafel. Eine Gerade hat 1. Dimension, weil die Lage eines Punktes auf
einer Gerade nur durch eine Zahl beschrieben ist. Es handelt sich um
die Abzisse eines Punktes, behaftet mit einem Minus, falls der Punkt
links von Ursprung liegt oder mit einem Plus, falls er rechts davon
liegt.
Die Tafeleben ist also zweidimensional, weil man
zwei
senkrechte Geraden zeichnen kann, damit jeder Punkt durch zwei Zahlen
beschrieben werden kann: sie sind die Abszisse und die Ordinate. In dem
Raum, wo wir leben, können wir eine dritte Gerade zeichnen,
die senkrecht auf die Tafel steht, um die andere zwei Achsen
zu ergänzen. Na ja, es ist ein bisschen komisch, über
eine Kreide verfügen, die Geraden aus der Taffel schreibt,
aber, denn wir ja zum vierten Dimension abreisen wollen, brauchen wir
zauberhafte Kreide!
Ein Raumpunkt wird daher durch drei Zahlen
beschrieben, die
fast immer x,
y
und z
gennant werden, und deshalb hat unserer Raum drei Dimensionen.
Natürlich würde es ganz toll sein, so fortsetzen zu
können, aber es ist nicht möglich, eine vierte Achse,
senkrecht auf die vorige drei Achsen zu zeichnen. Das ist keine
Überraschung, weil unserer physiche Raum 3. Dimension hat, und
wir suchen die vierte Dimension nicht da, sondern in unserer
Vorstellungkraft…
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Schläfli schlägt einige
Lösungen vor, damit wir uns eine Idee zu der vierten Dimension
bilden. Es gibt verschiedene Methoden, wie es auch viele Methoden gab,
um die ebene Echsen die dritte Dimension zu erklären. Diese
Methoden werden uns ermöglichen, einen flüchtigen
Blick auf die vierte Dimension zu werfen.
Die erste Methode ist am pragmatischten. Wir
können einfach sagen, dass ein Punkt im vierdimensionalen Raum
genau durch die vier Zahlen x, y, z und t gegeben wird. Dies ist nicht
sonderlich erhellend, und das ist ein Nachteil, aber es ist ein ganz
logisches Verfahren und die Mehrheit der Mathematiker sind damit
zufrieden.
Wir können auch gewöhnlicher Definitionen
in 2 und 3 Dimensionen abschreiben, um vierdimensionalen Objekten
beschreiben zu können. Zum Beispiel, können wir die
Definition von Ebene abschreiben, und dann nennen wir die Menge aller
Punkte x,
y, z, t, die die lineare Gleichung ax + by + cz
+ dt = e entsprechen, eine (Hyper-)Ebene. Man kann mit
diesen Definitionen eine feste Geometrie entwickeln, Theoreme beweisen,
usw. Es ist eigentlich die einzige Weise, hochdimensionale
Räume ernst handzuhaben.
Ziel dieses Films ist es, nicht “zu
ernst” zu sein, sondern die vierte Dimension anstellen, wie
einige Mathematiker sie ahnen.
Schläfli zeigt uns eine Methode, die die Analogie
verwendet. Die Idee ist die Dimensionen 1, 2 und 3 zu untersuchen, um
bestimmte Phänomene anzumerken, und dann muβ man vermuten,
dass diese Phänomene auch in der vierten Dimension geschehen. Es
ist ein schwieriges Spiel, dass nicht immer funktioniert. Eine Echse,
die ihrer Ebene entrinnt und im dreidimensionalen Raum eintritt, wird
überrascht, und wird Zeit brauchen, um sich daran zu
gewöhnen. Dasselbe passiert mit einem Mathematiker, der mit
Analogien im vierdimensionalen Raum eintritt… Das Beispiel
Schläflis ist die Folge: „Geradensegment, gleichsenkliges
Dreieck, Tetraeder”. Es gibt eine Analogie zwischen diesen
Objekten; es ist klar, dass der Tetraeder die Entsprechung zum
gleichsenkligen Dreieck in 3. Dimension ist.
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Und dann, welches Objekt entspricht dem Tetraeder
in der 4. Dimension?
Die Geradensegment besitzt zwei Eckpunkte und ist
in 1.
Dimension. Das Dreieck besitzt drei Eckpunkte und es hat 2. Dimension.
Der Tetraeder besitzt vier Eckpunkte und es hat 3. Dimension. Man neigt
zu denken, dass es ein Objekt in 4. Dimension gibt, das fünf
Eckpunkte besitzt und dass die Reihe fortsetzt. Wir sehen auch, dass
bei den Kanten, dem Dreieck und dem Tetraeder sind zwei Eckpunkte
jeweils durch eine Kante verbunden. Wir müssten die 5 Eckpunkte
paarweise verbinden, aber machen wir uns keine Sorge darum, in welchem
Raum machen wir die Zeichnung, und dann zahlen wir 10 Kanten. Nun die
Seiten: bei unserem Objekt berandet jedes Tripel von Ecken
eine
dreieckige Seite. Wir sehen auch zehn. Jetzt müssen wir auch ein
Tetraeder für jedes Viertupel von Ecken einfügen. Das
fertigkonstruierte Objekt ist nicht sehr deutlich… Wir kennen
seine Ecken, Kanten, Seiten, dreidimensionale Seiten, aber wir
können es nicht sehen. Der Mathematiker redet über Kombinatorik,
damit beschreibt er was wir haben: wir wissen welche Kanten welche
Ecken verbinden, aber wir haben keine geometrische Aufbildung des
Objektes. Das Objekt, dessen Dasein wir vorgesagt haben, und das die
Folge „Geradensegment, Dreieck, Tetraeder“ fortsetzt wird
„Simplex“
gennant.
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3. Die Polyedern Schläflis
Die Vielecken werden in der Ebene gezogen und so
werden
die Polyedern im Raum. Die Entsprechungen in der vierten (oder mehr!)
Dimension im Allgemeinen Polytopen gennant, obwohl sie werden auch oft
Polyedern gennant, ohne weiteres.
Sowie Platon über die regelmäβige
Polyedern im Raum redete, beschrieb Schläfli alle die
regelmäβige Polyedern in 4. Dimension. Einige haben einen
unvorstellbaren Reichtum, den der Film der dreidimensionalen Zuschauern
(wir alle) zu zeigen versucht. Er macht so, als er die Platonische
Polyedern zu den Echsen zeigte, eher er einen Blumenstrauβ oder
ein Buch vorstellt (offen gesagt, die Autoren des Filmes würden
gern einen Blumenstrauβ in Dimension 4 uns zeigen, aber das ist
leider nicht möglich!). Hier einer der schönsten Beitragen
Schläflis: die genaue Beschreibung der sechs
regelmäβigen Polyedern in der vierten Dimension. Da ja sie 4.
Dimension haben, haben sie Ecken, Kanten, Seiten und dreidimensionale
Seiten. In der folgende Tafel können sie die Namen jedes Polyeders
lesen, sowie seine Ecken, Kanten, Ebene und dreidimensionale Seiten.
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Einfacher Name |
Name |
Ecken |
Kanten |
2D Seiten |
3D Seiten |
Simplex |
Pentachoron |
5 |
10 |
10 Dreiecke |
5 Tetraeder |
Hyperwürfel |
Tesseract |
16 |
32 |
24 Quadrate |
8 Würfel |
16 |
Hexadecachoron |
8 |
24 |
32 Dreiecke |
16 Tetraeder |
24 |
Icositetrachoron |
24 |
96 |
96 Dreiecke |
24 Octaeder |
120 |
Hecatonicosachoron |
600 |
1200 |
720 Pentagone |
120 Dodecaeder |
600 |
Hexacosichoron |
120 |
720 |
1200 Dreiecke |
600 Tetraeder |
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Das wird sehr nützlich sein, um Ihnen
veranzuschaulichen, sehen Sie hier oder hier, oder auch hier.
4. In 4. Dimension „sehen“
Wie können wir in 4. Dimension sehen? Wir haben
leider keine „4D Brille“, aber es gibt andere Weisen.
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Die Methode der Schnitte
:
Zuerst können wir wie die Echsen tun. Wir sind in unserem
dreidimesionalen Raum und wir stellen uns vor, dass ein Objekt unseren
Raum nach und nach durchdringt.
Nun ist die Schnitte kein Vieleck, sondern ein
Polyeder,
das sich verformt. Wir können eine intuitive Schätzung der
Form des Polyders machen. Dafür müssen wir die Schnitte, die
nach und nach sich verformen und schlieβlich verschwinden,
beobachten. Das Objekt umzufassen ist nicht leicht: es ist schwieriger
für uns als für die Echsen…
Im Film machen wir uns mit drei Polyeder vertraut:
nämlich das Hyperwürfel und die sogenannte „120“ und „600“.
Sie schneiden unseren Raum und stellen die Schnitte aus, die
verformende dreidimensionale Polyedern sind. Beeindruckend! Trotzdem es
ist nicht leicht zu verstehen.
Rechts sehen Sie die „600“,
die unseren dreidimensionalen Raum durchdringt.
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Da ja es ist nicht leicht, die vierte Dimension zu
verstehen, es ist nicht nutzlos, sich ergänzende Methode zu bedienen.
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Die Methode der Schatten :
Die andere im Film gezeigte Methode ist
verständlicher als die von der Schnitten. Die konnten wir auch mit
den Echsen verwendet haben. Das macht der Künstler, der eine
dreidimensionale Landschaft mit seiner zweidimensionalen Leinwand
vorstellen will. Er projiziert das Bild auf seine Leinwand. Zum
Beispiel, er kann ein Strahlenbündel hinter das Objekt legen und
den Schatten auf seine Leinwand beobachten. Der Schatten verschafft nur
unvollständige Information über das Objekt, aber wenn wir das
Objekt im Licht drehen, dann sehen wir den verformenden Schatten und
können wir ein ganz genaues Bild der Gestalt des Objektes
aufbauen. Das ist die Kunst der Perspektive.
Hier ist es dasselbe: wir können bedenken, dass
das
vierdimensionale Objekt, das wir darstellen wollen, ein Scheinwerfer
dahinter hat, der sein Schatten auf unseren dreidimensionalen Raum
projeziert. Dreht sich das Objekt, so der Schatten verformt sich und
wir stellen uns die Gestalt des Objektes vor, selbst wenn wir es nicht
sehen können.
Zuerst sehen wir das Hyperwürfel, offensichtlich deutlicher
als die Schnitte.
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Danach die „24“,
auf die Schläfli unserer Meinung nach am stolzen war. Der Grund
ist es, dass der Neuling echt neu ist, er ist gar keine Entsprechung zu
einen dreidimensionalen Polyeder, wie die anderen. Auβerdem hat er
die wunderbare Eigenschaft, selbstdual
zu sein: er hat zum Beispiel so viele ebene Seite wie Kanten, und so
viele dreidimensionale Seiten wie Ecke.
Diese neue Aussicht stellt uns andere Aspekte der
vierdimensionalen Polyeder vor, die offensichtlich kompliziert sind.
Beide Methoden, die Schnitte und die Schatten, haben viele Vorteile,
aber man muβ zugeben, dass sie die ganze
Gleichmäβigkeit, die alle diese herrliche Objekten anbieten
nicht zeigen.
Im folgenden Kapitel werden wir eine
andere
Methode nützen, nämlich die stereographische Projektion.
Vielleicht ist sie erhellender.
5. In Dimension 4 „zu sehen“: die
stereographische Projektion.
(sehen Sie das
vierte Kapitel des Films: die vierte Dimension, Fortsetzung)
Schläfli bietet eine letzte Methode an, um
vierdimensionale Objekten uns vorzustellen. Sie ist einfach die
stereographische Projektion. Trotzdem handelt es sich natürlich
nicht um die Projektion, die Hipparch uns im 1. Kapitel gezeigt hat.
Stellen wir uns vor, dass wir im vierdimensionalen
Raum
sind und wir eine Sphäre betrachten. Um sie zu definieren,
nützen wir die gewöhnliche Definition: sie ist die Menge all
jener Punkte, die gleichen Abstand zu einen Mittelpunkt haben, der
Zentrum genannt wird. Wir wissen, dass die Sphäre, die der
dreidimensionalen Raum enthält, zweidimensional ist, weil jeder
Punkt auf die Sphäre durch seinem Längen- und Breitengrad
bestimmt ist. Gewissermaβen können wir sagen, dass die
Sphäre im dreidimensionalen Raum nur 2. Dimension hat, weil sie
eine Dimension „mangelt“, nämlich die Höhe
über der Sphäre. Gleichfalls hat die Sphäre im
vierdimensionalen Raum 3. Dimension und ihr „mangelt“ auch
eine Dimension, die nochmals die Höhe über der Sphäre
ist.
Was ist die Sphäre in einer Ebene, das heiβt,
in einem zweidimensionalen Raum? Sie ist die Menge all jener Punkte,
die gleichen Abstand zu einem Zentrum haben, nämlich ein Kreis. So
ein Kreis ist eine Sphäre in einem zweidimensionalen Raum, und er
hat 1. Dimension, da es nur ein Zahl nötig ist, um ein Punkt des
Kreises zu bestimmen.
Noch überraschender: was ist eine Sphäre in
einem eindimensionalen Raum, das heiβt, in einer Gerade? Sie ist
die Menge all jener Punkte, die gleichen Abstand zu einem Zentrum
haben. Es gibt nur zwei Punkte, einer links und der anderer rechts. So
die Sphäre im eindimensionalen Raum enthält nur zwei Punkte.
Kein Wunder, dass sie Nulldimension hat.
Kurz und gut: Im n-dimensionalen Raum hat die
Sphäre n-1 Dimension. Deshalb nennen sie die Mathematiker Sn-1.
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Der Beginn des Kapitels erzählt, was
die S3
Sphäre ist, aber na ja, nicht einmal Schläfli kann sie uns
zeigen. Höchstens kann er uns eine S2 Sphäre zeigen und uns
ermutigen, dass wir uns die S3
Sphäre vorstellen, als ob wir im vierdimensionalen Raum
wären. Die von Hipparch vorgestellte stereographische Projektion
projeziert die S2
Sphäre auf die am Südpol Tangentialebene. Wir können so mit
der S3 Sphäre
verfahren. Wir nehmen den am Südpol der S3
Sphäre Tangentialraum, der dreidimensional ist, und nun können wir
jeden Punkt der S3
Sphäre, mit Ausnahme des Nordpols, auf unseren Raum abbilden. Es
genügt, die Gerade, die den Nordpol mit dem Punkt verbindet, zu
verfolgen, bis sie den am Südpol Tangentialraum trifft. Die
Konstellation ist völlig analog zu der früher gesehene,
selbst wenn dieses ein vierdimensionales Verfahren ist.
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Vermuten wir, dass Schläfli ein vierdimensionaler
Polyeder uns zeigen will. Er wird so fortfahren, wie es wir mit den
Reptilien gemacht haben. Er wird ihn zu einer Sphären aufblasen,
bis er auf die Sphäre abgebildet ist. Nun kann er auf den am
Südpol Tangentialraum, der „unsere“ Raum ist,
stereographisch projizieren, und so können wir die Projektion
sehen.
Wir können auch die S3
Sphäre drehen und dann runterprojizieren, und der Tanz des
Polyeders beobachten. Wir bemerken, dass wenn wir die Sphäre
drehen, von Zeit zu Zeit eine Seite den Projektionspol trifft und die
Projektion unendlich groβ wird. Es scheint als ob sie auf den
Bildschirm explodieren würde. Wir haben derselben Eindruck wie im
2. Kapitel, wenn die Polyedern auf die Ebene projiziert wurden.
Das wird im 4. Kapitel vorgeschlagt: die Polyedern
Schläflis stereographisch projizieren und sie gleichzeitig
drehen…
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Die Geometrie des vierdimensionalen Raums ist nur
der
Anfang, weil es die Fünfte, die Sechste, und selbst die unendliche
Dimension gibt! Sie, die anfänglich als reine Abstraktionen
betrachten wurden, sind nun im modernen Phisik weit genützt. Die
Relativitätstheorie Einsteins postuliert, dass der Raum und die
Zeit miteinander zu einer vierdimensionalen Raumzeit verbunden sind.
Ein Punkt in dieser Raumzeit ist ein Ereignis, das durch seine
räumliche Lage x, y, z und durch den Augenblick t, zu dem es
stattfindet charakterisiert wird.
Die Kraft der Relativitätstheorie ist es, diese
vier Koordinaten gewissermaβen vermischen zu können, ohne die
Zeit und den Raum qualitativ zu unterscheiden, und so verlieren sie
ihre Eigenart. Wir werden hier diese
Theorie
nicht erklären, weil Schläfli sie unter anderem nicht kannte.
Die Theorie Einsteins stammt aus 1905, ziemlich später als die
Entdeckung der vierten Dimension. Es ist nicht das erste Mal, nicht
auch das Letzte, wenn der Physik und der Mathematik aufeinander wirken,
jede mit seinen Methode, mit verschiedene Zielen und Begründungen,
aber trotzdem so ähnlich…
Andererseits, die aktuelle Physik redet über
Räume, die 10. Dimension oder mehr haben, und die Quantumphysik
arbeitet in einer unendlichen Dimension, nicht wahr? Man wird noch
warten müssen, bis zu wir einen Film über zehndimensionale
Räume drehen...
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