Главы 3 и 4: Четвертое измерение

1. Людвиг Шлефли и другие

Мы долго колебались, прежде чем выбрать ведущего этой главы. Идея четвертого измерения не исходит только от одного человека и потребовалось творчество многих, чтобы она окончательно упрочилась и ассимилировалась в математике. Среди предшественников можно привести гениального Римана, который представит заключительную главу и который, без сомнения, имел очень четкое представление о четвертом измерении с середины девятнадцатого века.

Но мы предоставили слово Людвигу Шлефли (1814-1895), главным образом потому, что его оригинальный ум почти забыт сегодня, даже среди математиков. Он одним из первых выдвинул идею о том, что даже если наше физическое пространство, как представляется, имеет размерность 3, то ничто не может помешать нам представлять себе пространство размерности 4, или даже доказывать геометрические теоремы о четырехмерных математических объектах. Для него четвертое измерение было чистой абстракцией, но после нескольких лет работы, он должно быть испытывать большую легкость в четырех измерениях, нежели в трех! Его главная работа "Theorie der vielfachen Kontinuität" опубликована в 1852 году. Надо сказать, что лишь немногие в то время осознали важность этого трактата. Лишь в начале двадцатого столетия математики поняли идею этой монументальной работы. Больше о Шлефли можно почитать здесь или здесь.

Даже внутри математического сообщества, четвертое измерение сохраняло аспекты тайны и невозможности в течение многих лет. Широкой публике четвертое измерение часто напоминает о научной фантастике, полной паранормальных явлений, или, иногда о теории относительности Эйнштейна: "четвертое измерение — это время, не так ли?" Однако, это только путаница между вопросами математики и физики. Мы коротко вернемся к этому позднее. Сначала давайте попытаемся представить четвертое измерение, как это сделал Шлефли — как чистое творение разума!

2. Идея размерности

Шлефли использует доску, чтобы напомнить нам о некоторых вещах, которые мы уже видели в предыдущих главах. Прямая имеет размерность 1, так как,чтобы задать точку на ней необходимо всего одно число. Это абсцисса или x-координата, точки — отрицательная если находится точка слева от начала координат и положительная, если справа.

Плоскость доски имеет размерность 2, так как для того, чтобы задавать точки на ней, мы можем провести две перпендикулярные прямые, и описывать положение точек по отношению к этим двум осям абсциссой и ординатой (x- и y-координатами). Для пространства, в котором мы живем, необходимо дополнить две оси доски, проложив третью ось, перпендикулярную доске. Конечно, нечасто случается иметь мел, рисующий линии, покидающие доску, но так как мы готовимся перенестись в четвертое измерение, нам нужен магический мел!

Любая точка в пространстве может быть описана тремя числами, обозначаемыми традиционно x, y и z, поэтому мы и говорим, что пространство имеет три измерения. Конечно, хотелось бы продолжить, но невозможно провести четвертую ось перпендикулярно трем предыдущим; это и неудивительно, ведь физическое пространство, в котором мы живем, имеет размерность 3, и мы не должны искать четверное измерение здесь. Предпочтительнее искать в нашем воображении…

Шлефли предлагает несколько способов, с помощью которых мы можем получить представление о четвертом измерении. Существует не один метод, так же, как существует несколько способов объяснить третье измерение плоским ящерицам. Комбинация различных методов позволяет нам заглянуть в четвертое измерение.

Первый метод — наиболее прагматичный. Мы можем просто сказать, что точка в четырехмерном пространстве — это просто набор данных, состоящий из четырех чисел: x, y, z, t. Недостаток данного подхода в том, что так трудно что-нибудь представить визуально. Но он вполне логичен и большинство математиков довольствуется им. Затем можно пытаться копировать обычные определения из размерностей 2 и 3, и давать определения объектам в четвертом измерении. Например, можно назвать (гипер-)плоскостью множество точек (x, y, z, t), удовлетворяющих линейному уравнению в форме ax+by+cz+dt=e, скопировав подобное определение плоскости в пространстве. С определениями подобного рода можно развивать непротиворечивую геометрию, доказывать теоремы и так далее. По сути, это единственный способ серьезно работать с пространствами высших размерностей. Но цель этого фильма не в том, чтобы быть "слишком серьезным", а скорее в том, чтобы "показать" четвертое измерение и объяснить интуицию некоторых математиков в отношении него.

Вторым Шлефли дает нам объяснение "по аналогии". Идея заключается в том, чтобы внимательно рассмотреть размерности 1, 2 и 3, заметить некоторые явления, а затем предположить, что эти явления есть и в четвертом измерении. Это трудная игра, и она не всегда удаётся. Ящерица, которая покидает свой мир и выходит в трехмерное пространство, должна ожидать сюрпризов, и ей потребуется некоторое время, чтобы приспособиться. Это верно и в отношении математиков, которые забираются в четвертое измерение "по аналогии"… Шлефли приводит пример последовательности "отрезок, равносторонний треугольник, правильный тетраэдр". Создается впечатление, что есть аналогия между этими объектами — нет никаких сомнений, что правильный тетраэдр в каком-то смысле, обобщает равносторонние треугольники на случай размерности 3.

Тогда что же является объектом, который обобщает тетраэдры в четвертом измерении?

Отрезок имеет две вершины и лежит в размерности 1. Треугольник имеет три вершины и лежит в размерности 2. Тетраэдр имеет четыре вершины и находится в размерности 3. Соблазнительно предположить, что последовательность продолжается — что есть объект в четырёхмерном пространстве, который имеет пять вершин и продолжает последовательность. Мы видим, что и в треугольнике, и в тетраэдре каждая пара вершин соединена ребром. Если попытаться объединить пять вершин попарно друг с другом, не сильно задумываясь о пространстве, в котором мы рисуем — мы увидим, что для этого потребуется десять ребер. Затем, вполне естественно, попытаться разместить треугольные грани между каждыми тремя вершинами. Опять же, мы насчитаем их десять. Продолжим и поместим по тетраэдру между каждыми четырьмя вершинами. Объект, который мы только что построили, еще не имеет четкого статуса… мы знаем вершины, ребра, грани и трёхмерные грани, но мы пока еще не видим его ясно. Математики говорят, о комбинаторике, чтобы описать то, что мы знаем: мы знаем, какие ребра соединяют какие вершины, но мы до сих пор не имеем геометрического изображения объекта. Этот объект, о существовании которого мы только что догадались и который продолжает последовательность из отрезка, треугольника и тетраэдра, называется Симплекс!

3. Многогранники Шлефли

Многоугольники рисуют на плоскости, а многогранники в обычном трёхмерном пространстве. Аналогичные объекты в размерности 4 (или более!) обычно называются политопами однако их часто тоже называют просто многогранниками.

В то время, как Платон обсуждал правильные многогранники в обычном трёхмерном пространстве, Шлефли описывал правильные многогранники в размерности 4. Некоторые из них поразительно роскошны, и фильм покажет их трёхмерным зрителям (вам и мне!), тем же способом, как ящерицам — многогранники Платона; в этом фильме вы не увидите цветов или книг (авторы должны признать, что им было бы очень трудно показать вам цветы в размерности 4, а жаль!). Здесь мы представляем одно из самых ценных достижений Шлефли: полное и точное описание шести правильных многогранников в размерности 4. Поскольку они живут в размерности 4, у них есть вершины, ребра, грани размерности 2 и грани размерности 3. Вот таблица с именами этих многогранников, количеством ребер, граней и т.д.:

Эта таблица будет полезна для восприятия их визуализаций. Больше о многогранниках размерности 4 можно узнать здесь, или здесь, а также здесь.

4. "Видеть" в 4-х измерениях

Каким образом можно "видеть" в 4-х измерениях? К сожалению, мы не можем дать вам 4D-очки, но есть и другие способы!

Метод сечений:

Мы начнем так же, уже начинали с ящерицами. Мы находимся в нашем трёхмерном пространстве и представляем себе, что объект движется в четырёхмерном пространстве и наше трёхмерное пространство постепенно пересекает.

Сечение теперь находится в нашем пространстве, и вместо деформирующегося многоугольника представляет собой изменяющийся многогранник. Мы можем получить интуитивное представление о форме четырёхмерного многогранника, наблюдая, как его сечения постепенно деформируются и наконец исчезают. Распознавать объект таким образом — задача непростая, даже труднее, чем у ящериц.

В фильме мы познакомимся с тремя многогранниками: с гиперкубом и с так называемыми 120 и 600. Вы увидите, как они пересекают наше пространство и посмотрите на их сечения — изменяющиеся трехмерные многогранники. Впечатляющие! Но нелегко для понимания.

Рисунок справа показывает 600, проходящий через наше трёхмерное пространство.

Так как четвертое измерение нелегко понять, то хорошо бы использовать несколько взаимодополняющих методов.

Метод теней:

Другой метод, который мы приводим в этой главе, даже более нагляден, чем метод сечений. Мы могли бы использовать его и с ящерицами. Это — техника художника, который хочет изобразить ландшафт, содержащий трёхмерные объекты, на двумерном холсте. Он проецирует изображение на холст. Например, он может поместить источник света за объектом и наблюдать тени от объекта на холсте. Тень объекта дает лишь частичную информацию, однако, если объект вращать перед источником света и наблюдать каким образом меняется тень, часто можно получить очень точное представление об объекте. Все это — искусство перспективы.

Можно применить ту же идею: представьте себе четырёхмерный объект и лампу, проецирующую его тень на "холст", в качестве которого выступает наше трёхмерное пространство. Если объект вращается в четырёхмерном пространстве — тень изменяется, и мы получаем представление об объекте, даже если мы его не видим!

Первым мы видим гиперкуб, гораздо яснее, чем для метода сечений.

Затем 24 — объект, которым, мы думаем, Шлефли гордился! Причина заключается в том, что этот новичок действительно представляет собой нечто новое, он не обобщает ни одного трёхмерного многогранника, как в случае других многогранников. Кроме того, он обладает замечательным свойством самодвойственности: например, он имеет столько же 2-мерных граней, сколько и 1-мерных граней (рёбер), а также столько же 3-мерных граней, сколько и 0-мерных (вершин).

Наконец, мы наблюдаем многогранники 120 и 600, сечения которых мы уже видели. Эта новая точка зрения показывает нам другие аспекты этих четырёхмерных многогранников, которые действительно трудны для понимания. Эти два метода, сечений и теней, имеют свои преимущества, но мы должны признать, что они не показывают всех симметрий этих великолепных объектов.

В следующей главе мы будем использовать другой метод, называемый стереографической проекцией! Может быть, он поможет нам видеть яснее?

5. "Видеть" в четырёх измерениях: стереографическая проекция

(см. фильм, Глава 4 : четвертое измерение, продолжение)

Шлефли представляет нам последний метод изображения многогранников в четырёх измерениях. Он состоит просто в использовании стереографической проекции. Но, конечно, это не та же проекция, которую Гиппарх показывал нам в главе 1!

Мысленно окажемся в четырёхмерном пространстве, и рассмотрим там сферу. Чтобы определить, что такое сфера, мы воспользуемся обычным определением: сфера это множество точек в этом пространстве, которые находятся на одном и том же расстоянии от некоторой точки, называемой центром. Мы видели, что сфера в трёхмерном пространстве является двумерной, потому что ее точки описываются долготой и широтой. В некотором смысле, сфера в 3-мерном пространстве является лишь 2-мерной потому, что у нее "отсутствует одно измерение": высота над сферой. Точно так же, сфера в 4-мерном пространстве будет 3-мерной, и у нее также "отсутствует" измерение — опять же, высота над сферой.

Что такое сфера на плоскости, то есть, в 2-мерном пространстве? Это совокупность точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центра, иначе говоря, окружность. Таким образом, окружность — это сфера в 2-мерном пространстве! И, конечно, она является одномерной, так как достаточно одного числа для того, чтобы задать положение точки на окружности.

Еще более удивительно: что такое сфера в одномерном пространстве, то есть на прямой? Множество точек, расположенных на одном и том же расстоянии от заданной точки на прямой. Есть только две такие точки — одна слева, другая справа… Значит, сфера в одномерном пространстве содержит только две точки… Неудивительно, что мы говорим, что она имеет нулевую размерность.

Подводя итог: сфера в n-мерном пространстве имеет размерность n-1 и поэтому математики используют для ее обозначения символ S^n-1.

В начале главы объясняется, что такое сфера S³; но, конечно же, даже Шлефли не может показать нам ее. Все, что он может - это показать вам сферу S³, и призвать Вас продолжить, как если бы вы были в четырёх измерениях, представив себе сферу S³… Стереографическая проекция, представленная Гиппархом, проецирует сферу S² на касательную плоскость в южном полюсе. Можно действовать точно так же с S³. Возьмём касательное пространство к южному полюсу сферы S³, которое является трёхмерным; мы можем спроецировать любую точку S³ (за исключением северного полюса) на это пространство. Достаточно провести прямую линию, продолжив отрезок от северного полюса до нашей точки, до тех пор, пока она не пересечет касательного пространства южного полюса… Даже если это и происходит в четырёх измерениях, картина будет полностью аналогичная тому, что мы уже видели.

Допустим, что Шлефли хочет показать нам один из этих четырёхмерных многогранников. Он делает то, что мы уже делали с рептилиями. Он надувает многогранник, пока он не окажется лежащим на сфере S³. Затем он стереографически спроецирует его на касательную плоскость южного полюса, которым является наше трёхмерное пространство, — и мы увидим эту проекцию.

Мы также можем катать сферу S³ по касательной плоскости, а затем проецировать ее, таким образом наблюдая танец многогранников. Отметим, что когда при вращении сферы какая-либо грань многогранника проходит через полюс проекции, её проекция оказывается бесконечной — и нам кажется, что грань взрывается на экране. Мы видели такой же эффект в главе 1, когда многогранники проецировались на плоскость.

Это иллюстрация из 4-й главы фильма: стереографическое проецирование многогранников Шлефли с одновременным их вращением.

Геометрия четырёхмерного пространства является лишь началом, так как есть также пространства размерности 5, 6… и даже пространства с бесконечным числом измерений! Сначала считавшиеся чистой абстракцией, они широко используются в современной физике. Теория относительности Энштейна пользуется четырёхмерным пространством-временем. Точки этого пространства-времени описываются тремя числами, задающими положение в пространстве, и четвертым, описывающим момент времени.

Но сила теории относительности заключается именно в том, что эти четыре координаты в определённой мере смешиваются, не давая предпочтения времени или пространству, которые таким образом теряют свою индивидуальность. Мы не будем объяснять эту теорию, потому, что Шлефли не знал о ней! Теория относительности Энштейна датируется 1905 годом — гораздо позже рождения математической идеи о четырёх измерениях. Это не первый и не последний раз, когда физика и математика плодотворно взаимодействуют, каждая применяя свои методы, которые, несмотря на различные цели и мотивации, оказываются тем не менее очень близкими…

Кроме того, разве сегодняшние физики не постулируют существования пространств размерности 10 или больше, и разве квантовая физика не работает с бесконечномерным пространством? Придется немного подождать, пока мы не сделаем фильм о пространствах размерности 10…