Hoofdstukken 3 en 4 : De vierde dimensie  

Wiskundige Ludwig Schläfli vertelt over objecten in de vierde dimensie en toont ons een optocht van regelmatige polyeders in dimensie 4, vreemde objecten met 24, 120 en zelfs 600 zijden!

1. Ludwig Schläfli en de anderen

We hebben lang getwijfeld voor we de presentator van dit hoofdstuk gekozen hebben. Het idee van de vierde dimensie is niet het idee van één enkel persoon, en het heeft de inspanningen gevergd van vele creatieve geesten om het idee ingang te doen vinden en het te laten assimileren in de wiskunde. Een van de voorlopers op dit gebied was Bernhard Riemann die het laatste hoofdtuk zal presenteren, en die zonder enige twijfel een duidelijk idee had over de vierde dimensie in het midden van de negentiende eeuw.

Uiteindelijk hebben we er voor gekozen om het woord te geven aan Ludwig Schläfli (1814-1895), en wel omdat deze originele denker vandaag bijna vergeten is, zelfs onder wiskundigen. Hij was een van de eersten om in te zien dat, hoewel onze fysische ruimte duidelijk drie dimensies heeft, niets ons tegenhoudt om een ruimte van vier dimensies te bedenken, en zelfs om meetkundige stellingen te bewijzen in verband met objecten in vier dimensies. De vierde dimensie was voor hem een pure abstractie, maar na zovele jaren werk over dit onderwerp is het vrijwel zeker dat hij zich beter thuisvoelde in vier dimensies dan in drie! Zijn belangrijkste werk is Theorie der vielfachen Kontinuität en werd gepubliceerd in 1852, en het vond in die tijd maar weinig lezers. Het is slechts in het begin van de twintigste eeuw dat de wiskundigen het belang van dat monumentale werk begrepen hebben. Voor meer informatie over Schläfli, kijk hier of hier.

De vierde dimensie heeft lange tijd een mysterieus en 'onmogelijk' aspect behouden, zelfs binnen de wiskundige gemeenschap. Het grote publiek associeert de vierde dimensie dikwijls met paranormale verschijnselen in science-fiction verhalen, of soms met de relativiteitstheorie van Einstein: "De vierde dimensie?.. is dat niet de tijd?". Dat laatste is een verwarring tussen natuurkundige en wiskundige vraagstukken, en we komen daar later nog even op terug. Laat ons eerst eens proberen om de vierde dimensie te bevatten zoals Schläfli : als een zuiver hersenspinsel !

2. Het idee 'dimensie'

Schläfli herinnert ons eerst aan een paar zaken die we in de vorige hoofdstukken gezien hebben, en legt alles uit op het bord.. Een lijn heeft dimensie 1, want om een plaats te bepalen op een lijn hebben we maar 1 getal nodig. Het is de abscis van het punt op de lijn, negatief links van de oorsprong, en positief rechts.

Het vlak van het bord heeft dimensie 2, want om een plaats te bepalen op het bord kunnen we twee lijnen trekken, loodrecht op elkaar, en de plaats van een punt bepalen ten opzichte van die twee lijnen: het zijn de abscis en de ordinaat. Voor de ruimte waarin wij leven willen we nog een derde lijn trekken, loodrecht op de twee andere. Dit is natuurlijk met een gewoon plat bord nogal moeilijk, maar aangezien we op weg zijn naar de vierde dimensie gebruiken we magische krijtjes!

Elk punt in de ruimte kunnen we zo beschrijven door drie getallen die men traditioneel noteert als x, y en z, en het is daarom dat onze ruimte dimensie 3 heeft. We zouden natuurlijk graag op die manier doorgaan, maar het is niet mogelijk om een vierde as te tekenen loodrecht op de drie voorgaande, zelfs niet met onze magische krijtjes, en dat is niet echt een verassing want de ruimte waarin we leven is nu eenmaal van dimensie 3. Op die manier vinden we de vierde dimensie niet: we moeten onze verbeelding gebruiken.

Schläfli stelt een aantal oplossingen voor om een idee te krijgen van de vierde dimensie. Er is meer dan één oplossing, net zoals er meer dan één manier is om de derde dimensie uit te leggen aan de platte hagedissen, en die oplossingen zullen ons toelaten om een blik te werpen op de vierde dimensie. 

De eerste methode is de meest praktische. Men kan eenvoudigweg stellen dat een punt in de ruimte van dimensie 4 niets anders is dan een set van 4 gegeven waarden : x, y, z, t. Het nadeel van deze aanpak is dat men het niet aanschouwelijk kan voorstellen, maar anderzijds is het een logische aanpak, en voldoende voor de meeste wiskundigen. Men kan dan proberen om gebruikelijke definities in dimensie 2 en 3 uit te breiden om objecten te definiëren in vier dimensies.
Zo kan men bijvoorbeeld de verzameling van punten (x, y, z, t) die voldoen aan de lineaire vergelijking ax+by+cz+dt = e het (hyper-)vlak noemen, naar analogie met een gewoon vlak in de ruimte. Met dergelijke definities kan men een samenhangende meetkunde ontwikkelen, stellingen bewijzen, enz, en in feite is dit de enige manier om ruimtes van hogere dimensies ernstig te bestuderen. Het doel van onze film is echter om niet te 'ernstig' te zijn, maar wel om u de vierde dimensie te "tonen".

Schläfli toont ons dan een methode "naar analogie". Het idee is hier om aandachtig sommige fenomenen in dimensie 1, 2 en 3 te bekijken, en om dan te veronderstellen dat die fenomenen zich nog altijd voordoen in dimensie 4. Dit is een moeilijke aanpak die niet altijd werkt!. Een hagedis die zijn wereld verlaat, en de derde dimensie binnenkomt, moet zich verwachten aan een paar verassingen, en zal wat tijd nodig hebben om zich aan te passen. Hetzelfde is waar voor de wiskundige die zich binnenwurmt in de vierde dimensie "naar analogie"...Het voorbeeld dat Schläfli neemt is dat van de reeks "lijnstuk, gelijkzijdige driehoek, regelmatige tetraëder". Men voelt aan dat er een analogie bestaat tussen deze voorwerpen, en het lijdt geen twijfel dat de tetraëder in zekere zin de veralgemening in drie dimensies is van de gelijkzijdige driehoek.

Welk voorwerp is dan de veralgemening van de tetraëder in vier dimensies?

Het lijnstuk heeft twee uiteinden, en is van dimensie 1. De driehoek heeft drie hoekpunten en is van dimensie 2. De tetraëder heeft vier hoekpunten en is van dimensie 3. Het is verleidelijk om aan te nemen dat de reeks wordt verdergezet, en dat er aan voorwerp bestaat in vier dimensies met vijf hoekpunten.

Men merkt ook op dat bij de driehoek en de tetraëder alle hoekpunten met elkaar verbonden zijn door zijden of ribben.Als men probeert om vijf hoekpunten onderling te verbinden, zonder al teveel na te denken over de ruimte waarin men zich bevindt, dan ziet men dat men 10 ribben nodig heeft. Vervolgens plaatst men natuurlijk driehoekige zijden op elk drietal van hoekpunten. Zo vindt men er ook 10. Tenslotte plaatst men een tetraëder op elk viertal van hoekpunten. Het object dat we zo bekomen zien we nog niet zo goed voor ons. We kennen wel het aantal hoekpunten, ribben, zijden en driedimensionale zijden.De wiskundige praat over combinatoriek om te beschrijven wat we weten: we weten welke ribben welke hoekpunten verbinden, maar we hebben nog geen geometrisch beeld van het object. Dit object waarvan we zo het bestaan geraden hebben heet een simplex!.

3. De polyeders van Schläfli

Veelhoeken bestaan in een vlak en polyeders bestaan in de ruimte van dimensie 3. De analoge objecten in dimensie 4 (of meer!) noemt men polytopen (maar men noemt ze dikwijls simpelweg ook polyeders).

Plato beschreef de regelmatige polyeders in de gewone ruimte van dimensie 3, maar Schläfli heeft de regelmatige polyeders van dimensie 4 beschreven. Er zijn er prachtige bij, en de film wil ze tonen aan kijkers van dimensie 3 ( dus U en ik) op dezelfde manier als de vertoning van de polyeders van Plato aan de hagedissen van dimensie 2. De reden daarvoor is dat het voor de auteurs natuurlijk gemakkelijker is om polyeders van dimensie 4 te tonen dan een vaas met bloemen van dimensie 4! We zien hier een van de mooiste bijdragen van Schläfli : De precieze beschrijving van de zes regelmatige polyeders in dimensie 4. Polyeders van dimensie 4 hebben hoekpunten, ribben, zijvlakken van dimensie 2 en zijvlakken van dimensie 3. Zie hieronder een tabel met alle gegevens.

Dit kan nuttig zijn om de beelden beter te begrijpen. Om meer te weten over de polyeders in dimensie 4, kijk hier of hier, of hier.

4. "Zien" in dimensie 4

Hoe kunnen we "zien" in dimensie 4 ? We hebben spijtig genoeg geen 4D bril voor U, maar er zijn andere manieren.

De methode van de  sneden :

We kunnen het eerst proberen zoals de hagedissen het deden. Wij zijn in onze ruimte van drie dimensies, en we stellen ons voor dat een voorwerp zich geleidelijk verplaatst in de ruimte van 4 dimensies, en onze ruimte van 3 dimensies geleidelijk doorkruist.
De snede zien we nu in onze ruimte, en in plaats van een veelhoek die vervormt is het nu een veelvlak dat vervormt. We kunnen proberen een indruk te krijgen van de vierdimensionale polyeder door aandachtig de sneden te bekijken die verschijnen, vervormen, en uiteindelijk verdwijnen. Op die manier een object herkennen is niet gemakkelijk, nog minder gemakkelijk dan het voor de hagedissen was...
Op die manier maken we in de film kennis met drie dergelijke polyeders: de hyperkubus en de polyeders die we de 120 en de 600 noemen. U ziet hoe ze onze ruimte doorsnijden, en hun sneden tonen, die nu driedimensionale polyeders zijn. Het is indrukwekkend, maar niet makkelijk te begrijpen.
Rechts ziet U de 600 die onze ruimte van dimensie 3 doorkruist

De vierde dimensie is niet eenvoudig te begrijpen, en het is dus aangewezen om enkele bijkomende methoden te gebruiken.

De methode van de schaduwen :

De andere methode die in dit hoofdstuk aan bod komt ligt eigenlijk meer voor de hand dan die van de sneden, en we hadden die eigenlijk ook bij de hagedissen kunnen gebruiken. Het is dezelfde methode die een schilder gebruikt die een stilleven met voorwerpen van 3 dimensies schildert op zijn doek van 2 dimensies: hij projecteert het beeld op zijn doek. Hij kan bijvoorbeeld een lichtbron opstellen achter het object, en de schaduw observeren. Die schaduw geeft slechts gedeeltelijke informatie, maar als men het object voor de lichtbron laat draaien, en bestudeert hoe de schaduw vervormt, dan kan men zich dikwijls een nauwkeurig idee vormen van het object in kwestie. Waar we het hier over hebben is de kunst van het perspectief.

Wij doen hier eigenlijk hetzelfde: het object dat we willen tonen bevindt zich in de ruimte met vier dimensies, en er is een lichtbron die een schaduw van het object werpt op een doek dat nu onze ruimte van drie dimensies is. Als het object in dimensie 4 ronddraait verandert de schaduw en zo kunnen we ons een beeld vormen van de vorm van het object, zelfs al zien we het niet!

Eerst zien we de hyperkubus, en dat is nu veel duidelijker dan met de methode van de sneden.

Dan komt de 24, het object waarvan we vermoeden dat Schläfli er echt trots op was! De reden daarvoor is dat de 24 echt iets nieuws is: het is niet het equivalent in vier dimensies van één van de polyeders in drie dimensies, zoals dat we het geval is voor de andere. Daarenboven is de 24 autoduaal : er zijn evenveel zijvlakken van dimensie 2 als "zijvlakken" van dimensie 1 ( de ribben), en evenveel zijvlakken van dimensie 3 als zijvlakken van dimensie 0 (de hoekpunten).

Tenslotte zien we de 120 en de 600 waarvan we al eerder de sneden gezien hebben. Met deze methode om de polyeders te bekijken zien we andere aspecten van de vierdimensionale polyeders, die zonder twijfel ingewikkelder zijn. De twee methoden, sneden en schaduw, hebben hun voordelen, maar men moet toegeven dat ze de vele symmetrieën van deze prachtige objecten niet tot hun recht laten komen.

In het volgend hoofdstuk gebruiken we nog een andere methode, die van de stereografische projectie. Misschien wordt dan alles duidelijker!

5. "Zien" in dimensie 4 : de stereografische projectie

(Zie in de film hoofdstuk 4 : De vierde dimensie, vervolg)

Schläfli stelt ons een laatste methode voor om de polyeders van dimensie 4 te tonen. Het gaat hier opnieuw over de stereografische projectie, maar natuurlijk niet dezelfde projectie die Hipparchus ons getoond heeft in hoofdstuk 1.

Hoe ziet een sfeer eruit in dimensie 4? De definitie is dezelfde als diegene die we al kennen: het is de verzameling van punten die op dezelfde afstand liggen van een punt dat men het middenpunt noemt. We hebben al gezien dat in de ruimte van dimensie drie de sfeer dimensie 2 heeft omdat we al de punten kunnen beschrijven met twee getallen: lengtegraad en breedtegraad. Men zou kunnen zeggen dat de sfeer in dimensie 3 maar twee dimensies heeft omdat hij er een te kort komt, namelijk de hoogte boven de sfeer. Op dezelfde manier heeft de sfeer in dimensie 4 slechts drie dimensies, en ook hier mankeert er een, en dat is opnieuw de hoogte boven de sfeer.

Wat is dan een sfeer in dimensie 2, dus in een vlak? Het is weer de verzameling van alle punten op dezelfde afstand van een middenpunt: met andere woorden, het is een cirkel. Een cirkel is dus een sfeer in de ruimte van dimensie 2...en een cirkel heeft dimensie 1 want we hebben slechts 1 getal nodig om een plaats op de cirkel te bepalen. 

Wat misschien nog meer verbazend is: ook in de ruimte van dimensie 1, een rechte, is er een sfeer! De definitie is weer dezelfde: de verzameling van punten op dezelfde afstand van een middenpunt, en zo zijn er maar twee punten op een rechte: één links van het middenpunt, en één rechts. De sfeer in de ruimte van dimensie 1 bevat dus slechts 2 punten, en heeft dimensie 0!!

Om samen te vatten : in de ruimte van dimensie n, heeft de sfeer dimensie n-1 en de wiskundigen noteren de sfeer in dimensie n als S^n-1.

In het begin van dit hoofdtuk wordt uitgelegd wat de sfeer S³ is, maar zelfs Schläfli zelf kan ons die natuurlijk niet tonen. Het beste dat hij kan doen is U een sfeer S² tonen, en U aan te sporen om U mentaal te verplaatsen naar de vierde dimensie, en te doen alsof het een sfeer S³ is... De stereografische projectie, die Hipparchus uitgelegd heeft, projecteert de sfeer S² op een vlak dat raakt aan de zuidpool van de sfeer. Met S³ kan men op dezelfde manier tewerk gaan. Men neemt de ruimte die raakt aan de zuidpool van S³, die nu een ruimte van dimensie 3 is, en men kan dan om het even welk punt van S³ (behalve de noordpool) projecteren op deze ruimte. Het volstaat daarvoor om de lijn die vertrekt in de noordpool en die door het punt gaat te verlengen tot ze de ruimte, die raakt aan de zuidpool, ontmoet. Het principe is net hetzelfde als op de figuur rechts.

Schläfli wil ons dus een van die polyeders van dimensie 4 tonen. Eerst doet hij hetzelfde met de polyeder als datgene wat we deden om de polyeders te tonen aan de hagedissen: ze opblazen tot op de sfeer S³. Als dat gedaan is kan hij stereografisch projecteren op het 'vlak' dat raakt aan de zuidpool, en dat nu onze ruimte van dimensie 3 is, en dan kunnen wij het zien.

Men kan ook de sfeer S³ laten rollen op zijn raakvlak en dan de dans van de polyeder bekijken. Als door de rotatie van de polyeder een zijvlak door de noordpool gaat, dan wordt de projectie van die zijde oneindig groot, en we krijgen dan de indruk dat ze uiteenspat op het scherm, iets dat we ook zagen in hoofdstuk 1 toen we polyeders projecteerden op een vlak.

Het schouwspel in hoofdstuk 4 is er dus een van ronddraaiende, stereografisch geprojecteerde polyeders van Schläfli.

De meetkunde van de ruimten van dimensie 4 is natuurlijk maar een begin, want er bestaan ruimten van dimensie 5, 6,..en zelfs oneindig! Ze werden oorspronkelijk opgevat als pure abstracties, maar de hedendaagse fysica gebruikt ze wel degelijk. De relativiteitstheorie van Einstein gebruikt een ruimte-tijd van dimensie 4. Een punt van die ruimte-tijd is bepaald door drie getallen die een plaats bepalen, en een vierde die een tijdstip bepaalt.

De kracht van de relativiteitstheorie bestaat erin om in zekere zin die vier coordinaten te vermengen, zonder de tijd of de ruimte te bevoordelen. We gaan hier niet proberen die theorie uit te leggen, want Schläfli kende die niet! De theorie van Einstein dateert van 1905, dus vrij lang na de ontluiking van het wiskundig idee van vier dimensies. Dat was niet de eerste keer, en zeker niet de laatste, dat de wiskunde en de fysica mekaar beïnvloedden, beide wetenschappen met hun eigen methodes, met verschillende doelen voor ogen en met verschillende drijfveren, maar toch dicht bij elkaar.

De hedendaagse fysica spreekt over ruimtes van dimensie 10 of meer, en de quantumfysica werkt in een ruimte met oneindige dimensie. U zal wel nog even moeten wachten op onze film over de ruimtes van dimensie 10!