Главы 5 и 6: Комплексные числа

1. Рассказчик

Теория комплексных чисел — один из самых красивых разделов математики, играющий важную роль в современной науке. Путь к их открытию был непростым, чему свидетельством — исходная, а частично и сохранившаяся, терминология: их называли невозможными, мнимыми, да и слово комплексные (английское прилагательное complex означает сложный) вызывает ощущение, что они трудны для понимания. К счастью, это уже не так: сейчас мы можем описать их относительно просто.

Эти главы представляет Адриен Дуади. Этот замечательный математик, внёсший вклад в самые разные области математики, любил говорить, что все его исследования связаны с комплексными числами. В частности, он был одним из математиков, давших второе рождение теории комплексных динамических систем, о которой мы поговорим чуть позже.

Одна из особенностей этой теории заключается в том, что в ней возникает немало красивых фрактальных множеств, которые теперь, благодаря компьютерам, можно нарисовать. Адриен Дуади очень поощрял создание таких картинок — как для помощи математикам в их исследованиях, так и для популяризации математики.

Мы также обязаны Дуади созданием математического фильма под названием Динамика кролика: он любил давать математическим объектам неожиданные имена — кролик, самолёт, шедок (персонаж мультфильма), и так далее. Его недавняя смерть глубоко опечалила математическое сообщество. Прочитать о нём можно здесь или на этом сайте

Понятно, что даже Адриен Дуади не сможет рассказать всю теорию комплексных чисел в двух 13-минутных главах. Эти главы не могут заменить ни университетский курс, ни книгу, ни подробное изложение (посмотрите, например, здесь или на этом сайте). Их следует воспринимать как дополнение, или иллюстрацию, побуждающую к дальнейшему изучению комплексных чисел, или, быть может, как напоминание о давно забытых уроках. Конечно, основная цель фильма — наглядно продемонстрировать геометрическую сторону комплексных чисел.

2. Числа и преобразования.

Мы видели, что прямая одномерна, поскольку точку на ней можно задать одним числом: положительным, если точка находится справа, и отрицательным, если слева от начала отсчета. Точки — это геометрические объекты, а числа — алгебраические. Идея думать о числах как о точках, а о точках — как о числах, то есть смешивать алгебру и геометрию — одна из самых плодотворных в математике. Как всегда, эту идею непросто приписать одному человеку, но, как правило, этот мощный метод изучения геометрии при помощи алгебры приписывают Декарту: его открытие породило алгебраическую геометрию. Если точки на прямой — это числа, то простейшие действия над числами, сложение и умножение, должны иметь геометрический смысл. Ключевую роль в выяснении этого смысла играет идея преобразований.

К примеру, вычитание единицы из числа x, то есть преобразование x-1, может быть представлено геометрически как перенос: все точки сдвигаются влево на 1. Аналогично, умножение на 2 можно понимать как растяжение.

Умножение на -1, которое переводит каждую точку x в точку -x, можно понимать как симметрию — каждая точка переходит в симметричную ей относительно начала координат. Умножение на -2 — это композиция двух предыдущих операций. Вообще, умножение двух чисел становится композицией соответствующих преобразований. Например, отображение, соответствующее умножению на -1 — это симметрия, и когда мы прменяем эту операцию два раза подряд, мы попадаем обратно в исходную точку — просто потому, что произведение -1 на себя — это +1: квадрат -1 равен +1.

По этой же причине квадрат -2 равен +4. Из всех этих рассуждений следует, что квадрат любого числа положителен. Не существует числа, квадрат которого равен -1.

Другими словами, из -1 нельзя извлечь квадратный корень.

3. Квадратный корень из -1

Долгое время невозможность нахождения квадратного корня из -1 была догмой, которая не требовала обсуждения. В эпоху Ренессанса некоторые изобретательные души осмелились нарушить табу. Если мы осмелимся написать √-1, тогда можно будет писать такие числа, как, например, 2 + 3√-1, и формально с этими числами работать, не пытаясь понять их смысл. Эти первопроходцы более-менее экспериментально установили, что вычисления с этими невозможными числами, кажется, не приводят ни к каким противоречиям, и математики постепенно признали эти числа без какого бы то ни было настоящего подтверждения.

История этих новых чисел довольно длинна, и мы не собираемся описывать шаги, которые привели к появлению у этой теории надёжных основ. Кратко эту историю можно посмотреть, например, здесь. Достаточно сказать — очень упрощенно — что в течение девятнадцатого века несколько математиков, среди которых Гаусс, Вессель и Арган, нашли геометрическую интерпретацию этих воображаемых чисел. В фильме мы покажем упрощенный вариант очень простой идеи Аргана.

(Щелкните по рисунку справа, чтобы увидеть исходную статью Аргана.)

Число -1 соответствует центральной симметрии относительно нуля, то есть повороту на 180°. Чтобы найти корень квадратный из -1, надо найти преобразование, которое, примененное дважды, даст поворот на 180°. Поэтому Арган объявляет, что квадратный корень из -1 должен соответствовать просто повороту на 90°. Применение двух поворотов на 90° даёт поворот на 180°, то есть умножение на -1.

Развивая эту идею, хотелось бы сказать, что квадратный корень из -1 должен быть получен применением поворота на 90° к 1. Конечно, образ 1 при повороте на 90° не лежит на прямой, — и поэтому мы только что решили, что квадратный корень из -1 это точка, которая лежит не на прямой, а на плоскости!

Идея проста и красива: считать точки плоскости числами. Конечно, это уже не те числа, к которым мы привыкли. Поэтому мы и говорим, что традиционные числа — это действительные числа, а те числа, которые мы сейчас определяем, и которые соответствуют точкам на плоскости — это комплексные числа.

Задавая точку на плоскости её двумя координатами (x,y), — действительными числами, — мы видим, что прямая, которую мы только что покинули, это прямая, заданная уравнением y=0, а точка, полученная из 1 поворотом на 90° — это точка (0,1). Именно эту точку Арган считал корнем из -1. Математики, по-прежнему изумленные этой ловкостью рук, обозначают это число буквой i, от слова imaginary — воображаемый. Так как мы хотели бы уметь складывать эти числа, мы можем рассмотреть число x+iy, — ему будет соответствовать точка с координатами (x,y).

Итак, Арган предлагает рассмотривать точки (x,y) на плоскости не как пары (действительных) чисел, а как одно (комплексное) число. Это может показаться очень неожиданным, и, наверное, искусственным, но далее мы убедимся в продуктивности этой идеи.

4. Арифметика комплексных чисел.

Дальнейшее несложно. После всех приведенных рассуждений определим комплексное число z как пару действительных чисел (x,y), то есть как точку плоскости. Мы обозначим z = x + i y. Теперь мы собираемся объяснить, как складывать и умножать комплексные числа, а также показать, что все привычные свойства арифметических операций по-прежнему выполняются. Например, нам надо проверить, что сумма комплексных чисел не зависит от порядка слагаемых. Все это можно сделать строго, но это заведомо не является целью нашего фильма. Вот здесь, к примеру, изложена теория комплексных чисел.

Для сложения эта проверка проста: у нас есть формула (x+i y) + (x'+i y') = (x+x')+ i (y +y'), поэтому сложение комплексных чисел сводится к сложению соответствующих векторов.

Для умножения это несколько сложнее:

То, что эта формула задаёт хорошую операцию умножения — это маленькое чудо. Например, из неё не сразу ясно, что три комплексных числа можно перемножать в любом порядке и получать тот же самый ответ, а также то, что на ненулевое комплексное число всегда можно делить. Это маленькое чудо в фильме не объяснено — это увело бы нас слишком далеко!

Вот два понятия, которые будут нам полезны в дальнейшем:

Модуль комплексного числа z= x +i y — это просто расстояние от соответствующей точки (x,y) до нуля. Его обозначают через |z|; по теореме Пифагора, он равен √ (x²+y²). Например, модуль числа i равен 1, а числа 1+i равен √2.

Аргумент комплексного числа задаёт направление вектора z. Его обозначают Arg(z); это — не что иное, как угол между осью абсцисс и лучом, соединяющим ноль с точкой (x,y). Аргумент определён только в том случае, когда число z не равно нулю. К примеру, аргумент числа i равен 90°, числа 1 — нулю, числа -1 — 180°, а числа 1+i — 45°.

Долгое время математики пытались проделать то же самое в размерности 3: как научиться перемножать точки пространства? Им потребовалось много времени, чтобы понять, что это невозможно. В 4-мерном пространстве оказалось, что это частично возможно, а именно, умножение перестаёт удовлетворять равенству ab=ba. Более того, было обнаружено, что в 8-мерном пространстве это тоже возможно, если отказаться от требования (ab)c=a(bc). Наконец, в середине XX в было доказано, что в размерностях, отличных от 1, 2, 4, 8, хорошее произведение точек определить невозможно. Чтобы разобраться в предыдущих загадочных фразах этого абзаца, посмотрите сюда, сюда, или сюда.

Подведём итоги сказанного. Итак, каждая точка плоскости задаётся одним комплексным числом. Плоскость, которую мы раньше называли двумерной, стала одномерной! Здесь нет никакого противоречия: плоскость имеет два вещественных измерения, но она же является одномерной комплексной прямой. Вещественная плоскость, комплексная прямая... Два вещественных измерения, одно комплексное. Игра слов?

5. ... и снова стереографическая проекция!

Вспомним, как работает стереографическая проекция: она отображает двумерную сферу без северного полюса на плоскость, касающуюся сферы в южном полюсе. Когда точка приближается к северному полюсу, её проекция удаляется от нуля на плоскости, и можно сказать, что она стремится к бесконечности. Можно сказать, что северный полюс переходит в бесконечно удалённую точку.

Далее, если рассматривать касательную плоскость как комплексную прямую, можно понять, почему сферу размерности 2 (вещественной!) часто рассматривают как комплексную проективную прямую. Вот прекрасный пример математической акробатики: назвать сферу прямой!

Разве Анри Пуанкаре не говорил, что математика — это искусство называть одинаковыми словами разные вещи?

6. Преобразования

(К фильму Глава 6: комплексные числа, продолжение)

Цель этой главы — развить интуитивное представление о комплексных числах, изучив некоторые преобразования комплексной прямой.

Преобразование T — это операция, которая каждому комплексному числу z, то есть каждой точке плоскости, ставит в соответствие другую точку T(z). Чтобы проиллюстрировать это, мы расположим портрет Адриена Дуади на плоскости и покажем его образ при преобразовании: каждый пиксель портрета перейдёт туда, куда его переводит преобразование T.

Адриен выбрал несколько примеров таких отображений T:

T(z) = z/2
Каждое число делится на 2. Конечно, рисунок просто уменьшится в два раза: это — сжатие. Такое преобразование называется гомотетией.

T(z) = iz
Это просто поворот на 90°, по определению числа i...

T(z) = (1+i)z
Так как модуль числа 1+i равен √2, а аргумент равен 45°, преобразование является композицией поворота на 45° и гомотетии с коэффициентом √2. Это — преобразование подобия. Большое преимущество комплексных чисел заключается в том, что они позволяют описывать преобразования подобия просто как умножения на числа.

T(z) = z²
Вот наше первое нелинейное преобразование. Разместив фотографию двумя разными способами, мы знакомимся с действием возведения в квадрат на комплексной прямой: модули возводятся в квадрат, а аргументы удваиваются.

T(z) = -1/z
Это преобразование близко к инверсии. Конечно, к началу координат, которое соответствует числу 0, это преобразование применить нельзя, но мы уговоримся считать, что точка 0 переходит в бесконечность. Мотивировка очень проста: когда комплексное число z приближается к 0, то есть его модуль стремится к 0, модуль его образа |-1/z| обратен к модулю z, а значит, он стремится к бесконечности. Значит, у этого преобразования в нуле происходит взрыв: маленькая окресность нуля переходит очень далеко — за пределы экрана. И наоборот, точки, которые были очень далеко от нуля, стягиваются, переходя в точки, очень близкие к нулю.

Долгое время школьные пособия уделяли инверсии большое внимание, потому что она позволяет доказывать очень красивые теоремы. Главное свойство инверсии состоит в том, что она переводит окружности в окружности или прямые. Художники часто используют преобразования такого вида, называя их анаморфозами. TODO

Более общо, можно выбрать четыре комплексных числа a, b, c, d и рассмотреть преобразование вида

Математики называют эти преобразования по-разному: преобразования Мёбиуса, гомографии, проективные преобразования. Они замечательны тем, что они (и только они) переводят любую окружность в окружность или прямую. Группа преобразований Мёбиуса порождает замечательную геометрию — конформную; эта геометрия оказывается тесно связана с неевклидовой, но это уже совсем другая история.

T(z) = z+k/z
Жуковский изучал такие преобразования в связи с аэродинамическими свойствами крыла самолёта. Однако, Адриен Дуади мог бы выбрать какое-нибудь другое преобразование; например, делающее его портрет более изящным в талии. Цель этой иллюстрации — показать фундаментальное свойство преобразований этого типа. Конечно, они уже не переводят окружности в окружности (так делают только преобразования Мёбиуса), — но это свойство остаётся на инфинитезимальном уровне. Если взять очень маленькую окружность и посмотреть, во что она переходит — итоговая кривая, пусть и не будет окружностью, будет очень на неё похожа, тем больше, чем меньше была исходная окружность. Можно также сказать, что такие преобразования на инфинитезимальном уровне ведут себя, как преобразования подобия. Эти преобразования называются голоморфными или конформными. Греческие и латинские корни holo и con означают такой же, а morph и form означают форма. Другими словами, эти преобразования сохраняют форму. Теория голоморфных функций — один из важнейших разделов математики.

7. Голоморфная динамика

Во второй части 6-й главы Адриен Дуади рассказывает основы замечательной теории — голоморфной динамики, в развитие которой он внёс очень большой вклад. Речь пойдёт о множествах Жюлиа, которые не только обладают интересными математическими свойствами, но и очень красивы (и эти два их качества взаимосвязаны). Редкую математическую теорию можно так красиво проиллюстрировать; многих художников вдохновили получающиеся картинки.

Начнём с очень простой конструкции: выберем произвольное комплексное число c и рассмотрим преобразование T(z)=z²+c. При этом преобразовании каждое число z сначала возводится в квадрат, а потом сдвигается на c. Выберем какую-нибудь начальную точку z; при преобразовании она переходит в точку z₁=T_c(z). Далее, преобразуем полученную точку: z₂=T_c(z₁), и так далее до бесконечности. В результате мы получим последовательность комплексных чисел z_n, в которой каждое следующее число получается из предыдущего преобразованием T_c. Последовательность z_n называется орбитой исходной точки z при преобразовании T_c. Изучать динамику преобразования T_c означает изучать поведение таких последовательностей z_n. Это, конечно, очень простой пример, но он оказывается достаточно богатым, чтобы в нём возникала красивейшая математика!

Рассмотрим сначала очень простой случай c=0. В этом случае наше преобразование принимает вид T_c(z)=T₀(z)=z². Следовательно, модуль каждого следующего числа z_n — это квадрат модуля предыдущего. Если модуль z не превосходит 1, то есть точка z лежит в круге радиуса 1 с центром в нуле, то все точки z_n тоже будут лежать в этом круге. С другой стороны, если модуль z больше 1, то модули z_n будут постоянно расти, и даже стремиться к бесконечности: орбита z выйдет за пределы экрана.

В первом случае говорят, что орбита устойчива, она не вылетает за пределы некоторой ограниченной области на плоскости. Во втором случае она неустойчива: она стремится к бесконечности. Таким образом, множество точек z, орбиты которых устойчивы — это диск.

Более общо, для каждого значения c мы тоже можем выделить два различных типа орбит. Орбита точки z при T_c устойчива, если она остаётся в ограниченной области, а иначе неустойчива. Множество точек z, орбиты которых устойчивы, называется заполненным множеством Жюлиа преобразования T_c. Понимание структуры этих множеств Жюлиа и того, как они изменяются при изменении параметра c, является одной из основных целей теории голоморфных динамических систем. Сначала Адриен Дуади показывает нам несколько примеров множеств Жюлиа для различных значений параметра c. Некоторые из этих множеств называются весьма экзотично, например, кролик (видите его уши?) для c=0.12+0.77i.

С начала XX века было известно, что множества Жюлиа бывают двух типов. Оно может состоять из одной компоненты — быть связным, как сказал бы математик, — или быть вполне несвязным, состоять из бесконечного числа отдельных частей, ни одна из которых не имеет внутренних точек, то есть невидима на картинке. Поэтому для одних значений параметра c мы видим множество Жюлиа, а для других — нет (хотя оно и непусто). Множество значений c, для которых мы видим множество Жюлиа, называется множеством Мандельброта в честь придумавшего его Бенуа Мандельброта. Адриен Дуади многое сделал для понимания структуры этого множества; например, он участвовал в доказательстве его связности, и он (как и многие другие) был бы рад доказать локальную связность множества Мандельброта.

Конец этой главы посвящён погружению в множество Мандельброта; погружению глубокому, поскольку коэффициент увеличения достигает двухсот миллиардов! Мы можем смотреть на эту картинку с двух точек зрения. Во-первых, мы можем просто любоваться ею: она для этого достаточно красива. С другой стороны, мы можем задавать себе вопросы...

Например, что означают цвета? Давно было доказано, что множество Жюлиа несвязно (иными словами, число c не принадлежит множеству Мандельброта) тогда и только тогда, когда орбита точки 0 под действием T_c неустойчива. Для заданного значения c мы можем следить за поведением орбиты нуля при больших значениях n. Если z_n быстро становится очень большим, то точка c не лежит в множестве Мандельброта, и, более того, достаточно сильно удалена от него. Если последовательность z_n стремится к бесконечности, но медленнее, то точка c всё ещё не принадлежит множеству Мандельброта, но в некотором смысле ближе к нему. Цвет, в который мы раскрашиваем точку c, зависит от скорости, с которой последовательность z_n стремится к бесконечности, таким образом показывая, насколько точка близка к множеству Мандельброта. С другой стороны, если последовательность z_n не выходит из некоторой ограниченной области, то точка c принадлежит множеству Мандельброта, и мы её красим в чёрный цвет.

Множество Мандельброта на рисунке сверху раскрашено именно таким способом, но существует и десяток других. В фильме мы используем способ неравенство треугольника: когда модуль z_n становится достаточно большим, мы считаем модули A=|z_n-z_n-2|, B=|z_n-z_n-1| и C=|z_n-1-z_n-2|. Отношение A/(B+C) всегда лежит между 0 и 1, и цвет точки выбирается из палитры именно по этому отношению.

Почему иногда кажется, что мы видим новые маленькие копии множества Мандельброта? Это достаточно сложно объяснить, и это одно из важнейших открытий Адриена Дуади: множество Мандельброта самоподобно, что достаточно обычно для фракталов. Чтобы лучше это понять, посмотрите, например, эту страницу.