第五、六章: 复数

数学家Adrien Douady讲解复数. 以简单的术语解释负数的平方根. 变换平面, 图片形变, 创造分形图形.

1. 陈述者

复数 是数学最美丽的篇章之一，它也已成为数学中核心的工具. 然而了解它们的过程并不容易, 专业术语是原因之一;它们被称作“不可能的”和“虚幻的”数字, “复”这个字留给人们的印象是它们并不好理解. 庆幸的是这在今天不是问题: 我们可以以一种相对初等的方式展示它们.

Adrien Douady讲述这些章节.他是一个杰出的数学家,对 复数领域做出的许多贡献,他喜欢说他所有的研究都是关于复数. 特别地,他是复兴了复动力系统的那群数学家中的一个,我们将在稍后再谈.

他的理论的特征之一是产生了许多美丽的分形图形,如今由于电脑才能被画出来.Adrien Douady强烈支持促进这种图形的发展, 这既有益于数学家的研究也有助普及宣传数学.

全靠Douady我们才有了动画The dynamics of the rabbit(兔 子的动力学) (他喜欢给数学对象一些惊奇的名字: 兔子,飞机, 卡通形象shadok等等.) 他最近的去世令数学界十分悲伤.可以在这 个网站或这个网站 (法语)了解他的人格.

很显然,即使是Adrien Douady也不能在两个13分钟的章节内讲解完复数的全部理论 ...这些章节不是用来替代一门大学水平的课程,一本书或一份详尽的讲述(例如参见这个网站或这个).应该把这些章节认为是补充, 作为例子激发进一步学习 的兴趣或让你回忆起以前学过的课程. 影片主要还是要清晰地展示复数那几何的一面.

2.数与变换

我们已经知道直线是一维的,我们可以把数放在直线上-- 正数放在原点右边负数放在原点左边.点是几何对象,数是代数对象.把点和数看作相对应的,也就是混合代数与几何—& mdash;这是数学中最富有创造力的想法之一.把这种想法归功于一个人总是不太容易,但是总体上我们可以把利用代数研究几何这种有力的方法归功于Descartes: 这是 代数几何 的诞生. 如果直线上的点是数, 那么我们就可以几何地理解数的初等运算的意义: 加法与减法. 理解理解这个思想的关键是在于 变换 这个概念.

比如从一个数x中减一, 既是变换 x-1, 可以看做是几何上的移动:所有的点都向左移一. 同样地, 乘以二可以被看作扩张.

乘以-1，把x变成-x，可以看作是一个对称——每一点变为其关于 原点对称的那一点。乘以-2是前面两个操作的组合。两个数相乘可以化为两个相关变换的复合。比如，乘以-1所对应的变换是一个对称，当我们先后两次进行这 个操作时，我们回到最初的那一点，就如同-1乘以自身得+1.-1的平方是+1.

由同样的道理可知，-2的平方是+4。根据这可知任何数的平方都是正数。没有数的平方是-1。

换句话来说，-1没有平方根。

3. -1的平方根

很长一段时间，人们认为-1没有平方根是一个不可动摇的信条.文艺复兴时期，有创造性的精神敢去打破禁忌！如 果我们敢去写√-1,，那 么我们也可以写像2+3√-1 这样的数，像平常一样操作使用它们并不用去理解它们的含义。那些开拓者是以一种实验的姿态首先勇敢地运用这些不可能的数进行计算。由于他们的计算并不导致 矛盾出现，这些数逐渐被数学家们接受，即使没有真正正当的理由。

这些数的故事十分长，我们不打算描述它坚实基础建立的过程。可以从这个页面得知些历史。简而言之，在十九世纪，一些数学家包括Gauss, Wessel 和Argand，明白 了这些数的几何含义。影片里简单展示了Argand的一个描述方法。

(参见 Argand的原文可点击右边的图片. )

-1与关于原点的中心对称有联系，也就是关于原点绕半周。寻找-1的平方根也就是寻找这样一个变换，我们操作 它两次，才旋转半周。Argand说明-1的平方根必须对应一个四分之一周的旋转变换，相当简单。进行两次四分之一旋转得到半周旋转，也就是乘以-1。

由这个观念我们会想说从1开始旋转四分之一圈就得到-1的平方根。当然从1旋转四分之一圈不在直线上，而我们 让它出现在了平面上！

这个想法很简单却很优美：把平面上的点看作是数，当然不是我们原先所指的数。由于这一点我们把& amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; ldquo;传统” 的数称作实数，我们刚定义的数，与平面上的点相对应，称作复数。

如果我们用坐标(x, y)表示平面上的数，x、y是实数，我们刚离开的那条直线的方程是y=0.（1,0）点旋转四分之一周后是(0,1)。这就是Argand认为是-1的平 方根的那一点。还被这“花招”震住的数学家们把这数叫做i，即“ imaginary”。我们希望能相加这些数，我们可以考虑x+iy：对应坐标（x, y）。

总结一下，Argand建议我们把平面上的点（x, y）当作一个（复）数来考虑，而不是一对（实）数．这也许非常令人惊讶，或者让人觉得矫揉造作．但我们将看到这观念很有作用．

4. 复数代数

下面的内容并不难。有了这些假定之后，我们用两个实数定义一个复数，也即平面上的一点，用z = x +i y表示它。我们要展示如何把两个复数相加，相乘，我们以前使用的运算性质这里仍然适 用。比如，我们可以检查两个复数的和与它们相加的顺序无关。这都可以严格证明，但不是影片的重点…这里介绍了复数理论。

对于复数的加法很容易：我们有公式(x+i y) + (x'+i y') = (x+x')+ i (y +y')，所以复数的加法归结为对应向量的相 加。

对于乘法，有些困难：
(x+i y).(x'+i y') = xx' + i xy' + i yx' + i2 yy' = (xx'-yy') + i (xy'+x'y)

一下两点十分重要：

复数 z= x +i y的模就 是 (x,y)到原点的距离，用|z|来 表示。由勾股定理知这等于√(x2+y2)。 比如i的模是1，1+i的 模是√ 2。

我们用Arg(z)表 示z方向的辐角，即x轴与联结原点与(x,y)的 直线间的夹角。辐角只有在z不等于零时才有定 义。比如i的辐角是90度，1的辐角是0，-1 的辐角是180度，1+i的辐角是45度。

很长一段时间数学家们都想把这推广到三维空间：空间的点如何相乘？花了很久人们才明白这是不可能的。在四维空 间，他们又发现这部分可行，，只要放弃乘法ab=ba这 条性质！只要抛弃(ab)c=a(bc)这条性 质，直到八维都是可行的。到二十世纪中叶，人们知道除了1，2，4，8维空间，没有可以相乘的点！了解一些关于这神秘的命题，参见这个, 这 个或这个。

总而言之，平面上的每一点的都被定义成“一个”复数。二维平面变成 了一维！这里没有矛盾：平面有两个“实”维度，但这是一条一维的“复& rdquo;直线。实平面，复直线…两个实维度，一个复维度。文字游戏？

5. 又见面了：球极投影！

回忆一下球极投影：它把除去北极点的二维球面变换到与南极点相切的平面上。随着点接近北极，它的投影在平面上 越来越远，所以我们说它趋于无穷。

现在，如果我们把与南极点相切的平面想象成复线，那么我们就能明白为什么我们经常把二维球面（两个实维度！） 描述成复投影线！这就是一个美妙数学技巧的例子：把球面称作线！

Henri Poincaré不就说了数学就是给同样的事物不同的名字吗？

6. 变换

( 观看影片:第六章:复数,续 )

这章旨在通过复线的变换给人们些对复数直观上的感觉。

一个变换T是 一个操作把对于每一个平面内的点，也即复数z与 另一点T(z).联系起来。为了展示变换，我们 把Adrien Douady的照片放在平面上，显示它经过变换后的样子：相片上的每个像素都是经过T变换得到的。

Adrien举了一些变换T的例子:
T(z) = z/2
每一个数都除以2，图片被因子2缩小了：一个反向变焦（reverse zoom）！我 们把这称作位似。

T(z) = iz
由i的定义可知，这即旋转四分之一圆周。

T(z) = (1+i)z
1＋i的模是√2，它的辐角是45度。这是由旋转45度和√2因子位似复合的变换。这叫做相 似。这是复数的一大优势：它容许我们把简单相似描述成乘法。

T(z) = z2
这是我们的第一个非线性变换。通过把相片放在不同点，我们就会了解在复平面上应用平方的效果：模被平方辐角被加倍。

T(z) = -1/z
这个变换的作用与俗称的反转（inversion）相 似。与0相对应的原点不能被变换。但是我们约定原点被变换到无穷点。原因很简答：如果一个复数接近0，即模趋于0，被变换后的数1/z的 模——z的 模的倒数，降趋于无穷大。这个变换有“爆破”的性质，把靠近原点的领域内的点移至很远处，越过屏幕的边界 …相反地。离原点很远的点被“压”至原点附近。

长久以来，学术书籍中都很重视反转，因为它协助我们证明相当漂亮的定理。反转最主要的性质是把圆变换成圆或直 线。艺术家利用这种类型的变换，而把它称作失 真（anamorphosis）.

更普遍地，如果我们选取四个复数a,b,c,d， 考虑变换

T(z) = (az+b)/(cz+d).

这些变换在数学中有好几个名字——Moebius变换，射影变换，单应变换（homographies） ——但是它们首要的性质是把圆变换成圆或直线。这是一种美丽的几何—& mdash;共形几何的一个变换群。这种几何和非欧几何相似，这已是另一个主题了！

T(z) = z+k/z
Joukowsky研究过这个变换，是在他研究机翼的空气动力学（the aerodynamics of airfoils）的过程中！但是 Adrien Douady本可以选一些其他变换，特别是让他让他的形象比这个要瘦一点的！这个图示的意义在于它展示了这钟类型变换的基本性质。当然它不再保圆（只有 Moebius变换保圆），但是在无穷小的范围内它还是保圆的。这些变换叫做全纯的(holomorphic)或共 形的(conformal)。希腊语与拉 丁语词根“holo”与“con”意思是“一样 （same）”，“morph”意思是“形状（form）& amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; rdquo;：换句话来说，这些变换保持形状。全纯函数（holomorphic functions）的研究在数学中站很重要 的地位。

6. 全纯动力学

在第六章的第二部分,Adrien Douady介绍了一个重要分支，他也是这个分支的贡献者之一。是关于Julia集 的研究，这不仅是基于数学上的兴趣，更是由于它出奇地美丽（当然这两点也有关联）。很少见一个强大的数学理论能以如此美丽的形式展示出来。许 多艺术家被这些图像激发灵感，

开头的想法很简单：我们随意取一个复数c， 考虑变换Tc(z) = z2 + c.它先平 方复数z然后平移c。 在起始点z，变换的结果是z1= Tc(z)，我们进而可以考虑它的变换结果z2= Tc(z1)，我们一直这样无穷下去，产生复数序列zn， 每个数都由前一个数变换得到。我们说在变换Tc下， 序列zn处于起始点z 的轨道（orbit）中。 研究序列zn的性质，就是要了解Tc的动 力学（dynamics）。下面一个简单 的例子，足以体现数学之美。

首先考虑c = 0的 情况。这时变换实际就是重复Tc(z)=z2。 每个复数zn 的模都是前一个的平方。如果z 的模小于等于1，即z处于以原点为中心半径为1 的圆内，那么所有的zn都将处于圆内。另一方 面，如果复数z模大于1那么zn 的模会一直增长趋于无穷。z的轨道最终将超越屏 幕！

在第一种情况下，我们说轨道是稳定的（stable）， 它始终处于平面一块封闭区域内。第二种情况下它是不稳定的（unstable）， 它趋于无穷。因此使轨道稳定的点z的集合是圆。

更普遍地，对于c的每一个值，我们也能得到点z的两种轨道。变换Tc下z的 轨道是稳定的，如果它始终处于平面一块封闭区域内，否则就是不稳定的。使轨道稳定的z的点集 称作变换Tc.的填充Julia集 （filled-in Julia set）。了 解这些Julia集的结构以及它们如何随c变化而变化是解析动力系统（holomorphic dynamical systems）理论的一个重要目的。首先，Adrien Douady给我们展示一些在不同的c下Julia集的例子。它们中的一些有奇特的名字，比 如“兔子”（你看见它的耳朵了吗？）是在c= -0.12+0.77i的情况下得到的。

从二十世纪初起人们就知道Julia集分为两种。它可以像我们展示的例子里一样，是单独一块部分& amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; mdash;—用数学家的话来说就是连通的(connected)——或者它完全不连通， 由无穷多个独立的碎片组成，每个的内部都是空集，我们在图像上看不到它！能使我们看见Julia集（Julia集连通）的点c的集合称作Mandelbrot 集,为了纪念Benoît Mandelbrot。为了了解这些集合 Adrien Douady做了很多工作；他在证实集合是连通的这方面做出了贡献，他也会很乐意展示给我们集合是局部连 通的…

这章的末尾重在“潜入” Mandelbrot集，“潜”得如此之深以至于放大倍数达到了两千亿的数量级！我们可以以两种方式观察这景 象。我们可以仅仅欣赏它：它足够美了！或者我们可以问自己一些问题…

比如，颜色的意义是什么？一个古老的定理告诉我们Julia集不是连通的（或者说c不 在Mandelbrot集中）当且仅当在变换Tc 下0的轨道是不稳定的。对于给定的c值我们观察Tc下z=0 的轨道及其在n取值很大时的行为。如果zn 非常迅速地变大，就意味着c不在Mandelbrot集中，甚至远离它。如果序列zn 趋于无穷大，但是更缓慢些，那么c仍然不在Mandelbrot集中，只是稍微靠近它。c的 颜色取决于序列zn 趋于无穷的速度，也体现了它离Mandelbrot集的“距离”。另一方面如果zn 处于一块封闭区域中，那么c在Mandelbrot集中，它的颜色也就是黑色。

图中的Mandelbrot集就是以这种方式着色的，但是也有其它着色方法。影片中，我们用& amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; amp; ldquo;三角不等式”：zn的 模增大超过一确定值时，计算模A=|zn-zn-2|, B=|zn-zn-1| 和 C=|zn-1-zn-2|。A/(B+C) 是一个取值总在0和1之间的量，我们用这个数确定一个调色盘上的位置。

为什么有时我们会看到Mandelbrot集的小的复制个体？解释这个很困难，这也是Adrien Douady的重要发现之一：Mandelbrot集有自相似性，分形集合的一个常见性质。要想对此了解更多，参见这 个页面.