Hoofdstukken 5 en 6 : Complexe getallen 

Wiskundige Adrien Douady legt uit wat complexe getallen zijn: de vierkantswortel van negatieve getallen eenvoudig uitgelegd, een vlak transformeren, beelden vervormen en fractalen...

1. De presentator

De complexe getallen zijn een van de mooiste hoofdstukken van de wiskunde, en zijn een essentieel onderdeel van de wetenschappen geworden. De weg naar hun ontdekking was niet gemakkelijk, en dat vinden we nog terug in de terminologie: men sprak over onmogelijke getallen, imaginaire getallen, en het bijvoeglijk naamwoord '"complex" laat al vermoeden dat ze niet gemakkelijk te begrijpen zijn. Gelukkig is dat vandaag niet meer het geval, en we kunnen ze op een relatief eenvoudige manier voorstellen.

Adrien Douady is de presentator van deze hoofdstukken. Hij was een buitengewone wiskundige en zijn bijdragen zijn zeer gevarieerd, maar toch zei hij zei graag dat al zijn onderzoekswerk draaide rond complexe getallen. Hij heeft de theorie van dynamische systemen doen heropleven, en daarover zeggen we verder nog iets meer. 

Een van de karakteristieken van die theorie is dat ze aanleiding geeft tot mooie fractale verzamelingen, die men nu met computers gemakkelijk kan tonen. Adrien Douady was een van de mensen die de produktie van dergelijke beelden altijd heeft aangemoedigd, zowel om de wiskundige te helpen bij zijn werk, als om wiskunde te populariseren bij een groot publiek.

Hij heeft ook een wiskundige animatiefilm gemaakt: La dynamique du lapin (De dynamiek van het konijn). Wiskundige objecten gaf hij graag verbazende namen, zoals konijn, vliegtuig of "shadok" (een tekenfilmfiguurtje). Zijn recente heengaan heeft de wiskundige gemeenschap zeer bedroefd. Om meer te weten over zijn persoon, kijk hier of hier.

Het is duidelijk dat Adrien Douady niet gans de theorie van de complexe getallen kan uitleggen in twee hoofdstukken van 13 minuten... Die twee hoofdstukken kunnen geen cursus van een leraar vervangen, of een boek (zie bijvoorbeeld deze site of dit online boek). Men moet deze hoofdstukken beschouwen als aanvullingen, of als illustraties die aanzetten om er meer over te weten, of misschien als opfrissing voor diegenen die het lang geleden geleerd hebben, maar het grotendeels vergeten zijn. In de film tonen we vooral het meetkundig aspect van complexe getallen.

2. Getallen en transformaties

We hebben al gezien dat een rechte dimensie 1 heeft, want men kan een plaats bepalen op een rechte met slechts één getal, positief rechts van de oorsprong, en negatief links ervan. Punten zijn meetkundige wezens, en getallen zijn algebraische wezens. Het idee om getallen te vereenzelvigen met punten, en punten met getallen, met andere woorden, het vermengen van de algebra en de meetkunde, is een van de meest vruchtbare ideeën van de wiskunde. Zoals gewoonlijk kan men een dergelijk idee niet aan één enkel persoon toewijzen, maar toch denkt men in dit verband vooral aan Descartes als grondlegger van deze krachtige methode om de meetkunde te bestuderen door middel van de algebra: de algebraische meetkunde. Als men punten op een rechte beschouwt als getallen, dan moet men een meetkundige betekenis kunnen geven aan elementaire operaties tussen getallen: de optelling en de vermenigvuldiging. De sleutel daarvoor ligt bij het idee van de transformatie.

Bijvoorbeeld, 1 aftrekken van een getal x, dus de transformatie x-1, is meetkundig gezien een translatie: alle punten schuiven 1 op naar links. Op dezelfde manier is de vermenigvuldiging met 2 een dilatatie.

De vermenigvuldiging met -1, die elk punt x naar -x stuurt, is een symmetrie : elk punt wordt getransformeerd in zijn symmetrisch punt ten opzichte van de oorsprong.. De vermenigvuldiging met  -2 is op haar beurt een samenstelling van de twee vorige operaties. Twee getallen vermenigvuldigen komt neer op het uitvoeren van de transformaties die daarmee geassocieerd zijn. Zo is bijvoorbeeld de transformatie die geassocieerd is aan de vermenigvuldiging met -1 een symmetrie, en als men die operatie twee keer uitvoert komt men terug op het vertrekpunt. Het product van -1 met zichzelf is +1.

Het kwadraat van -2 is +4, om dezelfde reden. Het kwadraat van om het even welk getal is altijd positief. Een getal waarvan het kwadraat gelijk is aan -1 bestaat niet.

Anders gezegd, -1 heeft geen vierkantswortel.

3. De vierkantswortel van -1

Dat het onmogelijk is om een vierkantswortel te vinden van -1 was lange tijd een dogma waarover men niet mocht discussiëren. Maar tijdens de Renaissance waren er zekere inventieve geesten die het taboe durfden doorbreken!  Als men  √-1 durft schrijven, dan kan men ook getallen noteren zoals bijvoorbeeld 2+ 3 √-1 en kan men ook op een formele manier met die getallen spelen, zonder al te veel te proberen om de betekenis te begrijpen. Deze pioniers hebben dan in zekere zin op experimentele wijze vastgesteld dat die onmogelijke getallen geen aanleiding gaven tot contradicties, en zo zijn die nieuwe getallen stilaan aanvaard door de wiskundigen, zonder echte justificatie.

De geschiedenis van die nieuwe getallen is vrij lang, en het is niet onze bedoeling om alle tussenstappen te beschrijven die geleid hebben tot een solide basis van de theorie. Men kan deze pagina bekijken voor een stuk geschiedenis. Om het heel simpel te zeggen: in het begin van de negentiende eeuw hebben een aantal wiskundigen, waaronder Gauss, Wessel et Argand, het geometrisch karakter van die imaginaire getallen ingezien. De film toont op een eenvoudige manier de redenering van Argand.

(Klik op het beeld links voor het originele artikel van Argand (in het Frans).)

Het getal -1 is geassocieerd aan de symmetrie ten opzichte van de oorsprong, wat hetzelfde is als een rotatie van een halve toer. Een vierkantswortel zoeken van -1 is hetzelfde als een transformatie zoeken die een rotatie oplevert van een halve toer als ze twee keer na mekaar wordt toegepast. Argand zegt dan dat de vierkantswortel van -1 simpelweg moet geassocieerd worden aan een rotatie van een kwart toer. Twee opeenvolgende rotaties van een kwart toer geven immers hetzelfde als een rotatie van een halve toer, dus vermenigvuldigen met -1.

Vertrekkende van dat idee kan men zeggen dat de vierkantswortel van -1 bekomen wordt door het getal 1 een kwart toer te draaien. Maar het punt dat we verkrijgen door dat te doen ligt niet meer op de rechte, en we hebben daarmee dus beslist dat de vierkantswortel van -1 in het vlak ligt, en niet op de rechte!

Het is een eenvoudig en mooi idee: de punten in het vlak beschouwen als getallen. Het zijn dan natuurlijk niet meer dezelfde getallen als diegene die we gewoon zijn. Om die reden zegt men dat de "traditionele" getallen reële getallen zijn, en dat de getallen die we hier aan het definiëren zijn, dus geassocieerd met het vlak, complexe getallen.

Als wij een punt van het vlak bepalen door zijn twee coordinaten (x,y), en dat zijn reële getallen, dan is de rechte waar we mee begonnen zijn de rechte y = 0, en het punt dat het beeld is van (1,0) na een rotatie van een kwart toer, is (0,1). Het is dus dit punt dat Argand beschouwt als de vierkantswortel van -1. De wiskundigen, die versteld stonden van die goocheltruc, noemen dit punt i, afkorting van imaginair. Om getallen te krijgen die men kan optellen, kan men in het algemeen het getal x + i y  beschouwen, en daarmee stemt het punt met coordinaten (x,y) overeen.

Om samen te vatten, Argand spoort ons aan om de punten (x,y) van het vlak niet te beschouwen als twee (reële) getallen, maar eerder als één (complex) getal. Dat lijkt misschien verbazend, en wat kunstmatig, maar we zullen zien dat het een zeer krachtig concept is.

4. Complexe rekenkunde

Het vervolg is niet moeilijk. Na al die speculaties definieert men een complex getal z, als het paar van getallen (x,y), dus een punt in het vlak, en men noteert het als z = x + i y. Nu moet men nog aantonen dat men die complexe getallen kan optellen, ze met elkaar vermenigvuldigen, en ook dat alle rekenregels waaraan we gewoon zijn nog altijd geldig zijn. Zo moet men er zich bijvoorbeeld van verzekeren dat de som van complexe getallen niet afhangt van de volgorde waarin men ze optelt. Dat alles kan rigoureus behandeld worden, maar dat is natuurlijk niet het doel van onze film... 

Voor de optelling is het gemakkelijk: men heeft de formule (x+i y) + (x'+i y') = (x+x')+ i (y +y') wat betekent dat men complexe getallen kan optellen zoals men vectoren optelt.

Voor de vermenigvuldiging is het iets moeilijker:

maar hier is het een klein mirakel dat deze formule voldoet! Het is bijvoorbeeld niet evident dat men telkens hetzelfde resultaat bekomt als men drie getallen vermenigvuldigt in om het even welke volgorde, en evenmin is het evident dat men kan delen door een getal niet gelijk aan nul. Dit klein mirakel wordt in de film niet uitgelegd, het zou ons te ver leiden!

Hier zijn nog twee begrippen die nuttig zijn voor het vervolg :

De module van een complex getal z= x + i y is eenvoudigweg de afstand van het punt (x,y) tot de oorsprong. Men noteert het als |z| en volgens de stelling van Pythagoras is het gelijk aan √ (x²+y²) . Zo is bijvoorbeeld de module van i gelijk aan 1 en die van 1+i is √2.

Het argument geeft de richting aan van z. Men noteert het als Arg(z) en het is niets anders dan de hoek tussen de abscis as en de lijn tussen de oorsprong en (x,y). Dit argument is enkel gedefiniëerd als z niet gelijk is aan nul. Het argument van i  bijvoorbeeld is 90 graden, dat van 1 is nul, dat van -1 is 180 graden, en dat van 1+i  is 45 graden.

De wiskundigen hebben lang geprobeerd om hetzelfde te doen in de ruimte van dimensie 3: ze zochten een manier om punten in de ruimte met mekaar te vermenigvuldigen. Ze hebben er lang over gedaan voor het duidelijk werd dat dit onmogelijk is. Ze hebben wel ontdekt dat het in de ruimte van dimensie 4 gedeeltelijk mogelijk is, maar dan is ab=ba niet meer waar! In de ruimte van dimensie 8 is het ook mogelijk, maar dan is (ab)c=a(bc) niet meer geldig! In het begin van de twintigste eeuw heeft men begrepen dat men in geen enkele ruimte, buiten die van dimensie 1, 2, 4 en 8, punten kan vermenigvuldigen. Om meer te begrijpen over deze mysterieuze beweringen kan men  deze pagina, deze pagina of deze consulteren.

Samengevat, punten in het vlak worden beschreven door één enkel getal..een complex getal. Het vlak waarvan we altijd gezegd hebben dat het dimensie 2 heeft, heeft nu dimensie 1! Dit is natuurlijk geen contradictie: het vlak heeft dimensie 2, maar dimensie twee reëel, maar het vlak is ook een rechte van dimensie 1, maar dimensie 1 complex. Reëel vlak, complexe rechte..reële dimensie 2, complexe dimensie 1...en spel van woorden?

5. ... nogmaals de stereografische projectie !

Herinner U de stereografische projectie: ze transformeert de sfeer van dimensie 2, zonder de noordpool, in het vlak dat raakt aan de zuidpool. Als een punt alsmaar dichter bij de noordpool komt zal zijn projectie zich verder en verder van de oorsprong verwijderen, en naar oneindig gaan. Men zegt soms dat de projectie van de noordpool het punt op oneindig is.

Als we nu aan het raakvlak aan de zuidpool denken als een complexe rechte, dan begrijpt men waarom de sfeer van (reële!) dimensie 2 dikwijls een complexe projectieve rechte genoemd wordt.. Een mooi voorbeeld van wiskundige gymnastiek: een sfeer een rechte noemen!

Heeft Henri Poincaré niet gezegd dat men in de wiskunde dezelfde naam geeft aan verschillende dingen?

6. Transformaties

( Zie in de film: Hoofdstuk 6 : Complexe getallen, vervolg)

Dit hoofdstuk probeert de kijker wat gevoel te doen krijgen voor complexe getallen door bepaalde transformaties van de "complexe rechte".

Een transformatie T is een operatie die aan elk complex getal z, dus elk punt van het vlak, een ander punt T(z) associeert. Om dit te illustreren neemt men het portret van Adrien Douady, en toont dan het beeld dat bekomen wordt door de transformatie: elke pixel in het portret wordt getransformeerd door T. 

Adrien kiest meerdere voorbeelden uit van de transformatie T :

T(z) = z/2
Elk getal wordt gedeeld door 2. Het portret wordt natuurlijk twee keer kleiner: men zoomt uit. Men noemt dit een homothetie.

T(z) = iz
Hier gaat het over een rotatie van een kwart toer (zie de definitie van i).

T(z) = (1+i)z
Aangezien de module van 1+i gelijk is aan √2 en het argument 45 graden is, moet men de combinatie maken van een rotatie van 45 graden en een homothetie met een factor √2. Men noemt dit een gelijkvormigheid. Met complexe getallen kan men dus dergelijke gelijkvormigheden eenvoudigweg schrijven als een vermenigvuldiging, wat een groot voordeel is.

T(z) = z²
Hier is onze eerste niet-lineaire transformatie. Door de foto op twee verschillende plaatsen te zetten ziet men hoe de kwadratering in het complexe vlak in zijn werk gaat: de module wordt gekwadrateerd en het argument wordt verdubbeld.

T(z) = -1/z
Deze transformatie is nauw verwant met wat men gewoonlijk een inversie noemt. De oorsprong, die overeenstemt met het getal 0, kan natuurlijk niet getransformeerd worden, maar men komt overeen om te zeggen dat de oorsprong naar oneindig gestuurd wordt. De reden hiervoor is eenvoudig: als een complex getal z de oorsprong nadert, en zijn module dus naar 0 gaat, dan zal de module van het getransformeerde punt -1/z een module hebben die de inverse is van die van z, en dus naar oneindig gaan. Deze transformatie heeft dus de eigenschap om zones dicht bij de oorsprong te doen "exploderen": ze worden ver weg buiten het scherm gestuurd...Anderzijds worden punten die zich ver weg bevinden samengedrukt in een zone dicht bij de oorsprong. 

In schoolboeken heeft men lange tijd veel aandacht besteed aan de inversie. Men kan daarmee mooie stellingen bewijzen. De belangrijkste eigenschap van een inversie is dat ze cirkels omzet in cirkels (of rechten). Dit type transformaties wordt soms door kunstenaars gebruikt, en heet dan anamorfose.

Meer algemeen, als men vier complexe getallen a,b,c,d  kiest, kan men de volgende transformatie bekijken:

Dit type transformaties heeft in de wiskunde meerdere namen: Moebius transformaties, homografieën, projectieve transformaties. De belangrijkste eigenschap is dat cirkels worden getransformeerd in cirkels of rechten. Deze groep van transformaties behoort tot een prachtige meetkunde, die men 'cirkelvormig' noemt, en die dicht staat bij de niet-Euclidische meetkunde, maar dat is een ander verhaal! 

T(z) = z+k/z
Deze transformatie werd bestudeerd door Joukovski tijdens zijn studies over de aerodynamica van vliegtuigvleugels ! Adrien Douady had misschien beter een ander type transformatie uitgekozen, eentje dat beter is voor zijn lijn! Het doel van deze illustratie is een fundamentele eigenschap van dit type transformaties te tonen. Cirkels worden niet meer in cirkels getransformeerd, dat doen enkel de Moebius transformaties, maar dat gebeurt nu nog wel op infinitesimale schaal. Als men een kleine cirkel neemt, en mijn kijkt naar de curve die men krijgt als men die kleine cirkel transformeert, dan is dat geen echte cirkel, maar wijkt er niet ver van af, en des te minder naarmate de originele cirkel kleiner is. Een andere manier om dat uit te drukken is dat de transformaties in kwestie zich gedragen als gelijkvormigheden op infinitesimale schaal. Men noemt deze transformaties holomorf of conform. In het Grieks en Latijn betekenen "holo" en "con" "hetzelfde", en "morf" betekent "vorm": de transformaties behouden de vorm. De studie van holomorfe functies is een van de belangrijkste hoofdstukken in de wiskunde.

6. Holomorfe dynamiek

In het tweede deel van hoofdstuk 6 brengt Adrien Douady een inleiding tot een prachtig onderwerp waarin hij grote bijdragen geleverd heeft. Het gaat over de Julia verzamelingen, die naast hun fundamenteel wiskundig belang ook een buitengewone schoonheid hebben. ( en die twee zijn natuurlijk gelinkt!) Het komt niet dikwijls voor dat een wiskundige theorie op zulk een mooie wijze kan geïllustreerd worden, en vele kunstenaars hebben zich door deze beelden laten inspireren.

Het vertrekpunt is zeer eenvoudig: men kiest een willekeurig complex getal c. Dan neemt men de transformatie T_c(z) = z² + c. Dit betekent dus dat men een getal kwadrateert, en er c bij optelt. Als we vertrekken van een initieel punt z, dan wordt dit punt getransformeerd naar een punt z₁= T_c(z), dan transformeert men opnieuw en men krijgt het punt z₂= T_c(z₁) en men doet zo verder tot in het oneindige. Zo produceert men een reeks getallen z_n die elk het getransformeerde punt van het vorige punt zijn. Men zegt dat de reeks z_n de baan is van het initieel punt z door de transformatie T_c. Bestuderen hoe die reeks z_n zich gedraagt is de dynamiek begrijpen van T_c .Hoewel dit een eenvoudig voorbeeld is, is het toch rijk genoeg om aanleiding te geven tot zeer mooie wiskunde.

We bekijken eerst het geval c = 0. Dit betekent dat we de transformatie T_c(z)=z² herhaaldelijk toepassen. De module van elke z_n is dus het kwadraat van de vorige. Als de module van z kleiner is dan 1, dus als z binnen een cirkel ligt met straal 1 en middenpunt op de oorsprong, dan gaan alle z_n binnen deze cirkel blijven. Als daarentegen de module van z groter is dan 1, dan zullen de modules van z_n steeds groter worden, en naar oneinig gaan: de baan van z zal buiten het scherm gaan !

In het eerste geval zegt men dat de baan stabiel is: ze blijft in een welbepaalde zone van het vlak. in het tweede geval is ze instabiel: ze vlucht naar oneindig. De verzameling van punten z waarvoor de baan stabiel, voor c = 0 is is dus de schijf met straal 1.

Meer algemeen kan men voor elke waarde van c twee soorten van punten z vinden. De baan van z onder invloed van de transformatie T_c kan instabiel zijn of stabiel, en ze blijft dan in een beperkt deel van het vlak. De verzameling van punten z waarvan de baan stabiel is noemt men de gevulde Julia verzameling van de transformatie T_c. Het begrijpen van de structuur van die Julia verzamelingen, en de manier waarop ze veranderen als c verandert is de grootste inzet van de theorie van de dynamische holomorfe systemen. Adrien Douady toont ons eerst enkele voorbeelden van Julia verzamelingen voor verschillende waarden van c. Sommige daarvan hebben exotische namen, zoals bijvoorbeeld 'het konijn' (ziet U de oren ?) voor c= -0.12+0.77i.

Men weet sinds het begin van de twintigste eeuw dat de Julia verzameling van twee types kan zijn. Het eerste type is zoals in de voorbeelden hierboven beschreven: het is "uit één stuk", of samenhangend. Het tweede type is volledig discontinu, en bestaat uit een oneindig aantal losse stukjes, wat wil zeggen dat men ze op een tekening niet ziet! Bijgevolg zijn er waarden van c waarvoor men de verzameling van Julia ziet, en andere waarvoor men ze niet ziet (hoewel ze wel bestaat). De verzameling van waarden van c waarvoor men de verzameling van Julia goed ziet noemt men de verzameling van Mandelbrot, ter ere van Benoît Mandelbrot, die deze verzameling uitgevonden heeft. Adrien Douady heeft deze verzameling uitvoerig bestudeerd, en heeft er bijvoorbeeld toe bijgedragen om aan te tonen dat ook deze verzameling samenhangend is, en hij zou er graag in geslaagd zijn (zoals vele anderen) om aan te tonen dat ze ook lokaal samenhangend is.

Op het einde van het hoofdstuk zien we een duik in de Mandelbrotverzameling: een zeer diepe duik want de zoom factor is van orde van grootte tweehonderd miljard! Deze scène kan men op twee manieren bekijken. Men kan enkel kijken en bewonderen, daar is het mooi genoeg voor. Langs de andere kant kan men zich ook enkele vragen stellen...

Wat is bijvoorbeeld de betekenis van de verschillende kleuren? Er is een oude stelling die zegt dat de Julia verzameling van T_c niet samenhangend is, enkel en alleen als de baan van 0 van T_c instabiel is. Voor een gegeven waarde van c kan men dus de baan nemen van z=0 door T_c en kijken hoe die zich gedraagt voor grote waarden van n. Als z_n snel zeer groot wordt, dan wil dat zeggen dat c niet tot de verzameling van Mandelbrot behoort, en er zelfs relatief ver vanaf ligt. Als de reeks z_n naar oneindig gaat, maar trager, dan ligt het punt c nog altijd niet in de Mandelbrotverzameling, maar ligt er toch dichterbij. De kleur die men neemt voor het punt c hangt af van de snelheid waarmee de baan z_n naar oneindig gaat, en toont zo dus de "nabijheid" ten opzichte van de Mandelbrotverzameling. Als daarentegen z_n in een gelimiteerde zone blijft, dan is c binnen de verzameling van Mandelbrot en dan kleurt men het punt zwart..

De Mandelbrotverzameling in de figuur hierboven werd ingekleurd met deze methode, maar er bestaan nog tientallen andere methoden. In de film werd de methode "Driehoeksongelijkheid" gebruikt: als de module van z_n een bepaalde waarde overschrijdt, dan berekent men de modules A=|z_n-z_n-2|, B=|z_n-z_n-1| et C=|z_n-1-z_n-2|.
A/(B+C) geeft altijd een resultaat tussen 0 en 1, en dat gebruikt men om de positie aan te duiden op een kleurenpalet.

Waarom ziet men nu en dan nieuwe kleine copieën van de Mandelbrot verzameling opduiken? Dat is veel moeilijker uit te leggen, en het is een van de belangrijke ontdekkingen van Adrien Douady: de Mandelbrotverzameling heeft zelfgelijkvormige eigenschappen, iets dat men dikwijls tegenkomt bij fractale verzamelingen. Om dat beter te begrijpen, kijk bijvoorbeeld hier (in het Engels).