Capítulo 9 : Demostración 

El matemático Bernhard Riemann explica la importancia de la demostración en matemáticas. Él demuestra un teorema acerca de la proyección estereográfica.

1. El legado de Euclides

Este capítulo es algo especial... Lo hubiéramos podido situar justo después del primer capítulo, pero también puede verse independientemente del resto. ¡Un plus! El objetivo es explicar que las demostraciones son la esencia de las matemáticas.

Euclides estableció claramente las reglas del juego matemático, y esto le hizo acreedor al reconocimiento de los matemáticos. Quizás no podamos atribuirle ningún resultado importante en las matemáticas a Euclides, pero si podemos decir que tuvo la inteligencia para proponer un método para las matemáticas al compilar Elementos, uno de los más grandes textos matemáticos de todos los tiempos.  

Este libro ha sido una referencia incuestionable ¡por casi 2000 años! Su originalidad yace en su estructura. Todos las declaraciones, teoremas, proposiciones, etc. en el libro están completamente justificadas en base a proposiciones anteriores. Sin embargo, Euclides comprendió bastante bien que no es posible demostrarlo todo tomando como base resultados anteriores: uno debe comenzar con algo (¡a menos de querer escribir un libro de extensión infinita!). Los lectores deben aceptar cierto número de hechos al comienzo sin demostración, y estos se llaman axiomas o postulados. Entonces, la idea de Euclides es comenzar con una lista de axiomas como base para una construcción en la que cada ladrillo descanse sólidamente sobre otros ladrillos. Ve una versión en línea del libro aquí.

Todas las declaraciones excepto los axiomas deben demostrarse, es decir, explicar porque son verdaderas usando las reglas de la lógica, declaraciones ya demostradas y por supuesto los axiomas determinados desde el principio. Este es el método axiomático. Queda claro que no cualquier serie de declaraciones pueden elegirse como axiomas. Por ejemplo, ¡la lista no puede contener dos axiomas contradictorios! La elección de los axiomas no es tarea fácil. ¿Es suficiente que los axiomas no sean contradictorios? Es obvio que la geometría que se enseña en la escuela debe contener axiomas que sean "verdaderos" en realidad, y por lo tanto los axiomas deben elegirse para que reflejen nuestra realidad física. Por otro lado, los matemáticos estarán contentos con una serie de axiomas no-contradictorios que no reflejen del todo al mundo real. Un ejemplo clásico es la geometría no-euclídea que, como el nombre lo dice, parte de axiomas diferentes a los utilizados por Euclides, y es tan coherente como la geometría euclídea, aunque sus teoremas no sean váidos en la realidad física tal y como la conocemos. Hay más que decir acerca de este método axiomático, pero sigamos con un teorema específico.

2. Un teorema

Para ilustrar como funciona una demostración matemática hemos elegido un teorema que no es sencillo, y ciertamente, ¡nada evidente en sí mismo! Ya lo hemos declarado en el Capítulo 1

Este es un teorema antiguo. ¿Lo conocía ya Hiparco? ¿Lo demostró? Difícil de saber. 

La idea de considerar a la esfera S² como una línea compleja a la que se le agrega un punto al infinito se le atribuye con frecuencia a Bernhard Riemann (aunque la idea ya había surgido antes que él...), y uno habla con frecuencia de la esfera de Riemann. Este matemático es sin duda uno de los más creativos de todos los tiempos, y para nosotros ¡parecía la persona ideal para presentar la demostración de este teorema acerca de "su" esfera!

Los trabajos de Riemann son genio puro: gracias a él, pensamos diferente acerca de cierto número de conceptos matemáticos. Por ejemplo: él nos enseñó lo útil que puede ser estudiar la curva algebráica en el plano real al considerar la versión compleja en el plano complejo, que a su vez se vuelve una curva compleja, o en otras palabras, una superficie... Esta es la teoría de  superficies de Riemann. Huelga decir que ésta es una teoría hermosa.

Ahora lo que necesitamos demostrar es que la proyección de un círculo que no pasa a través del polo norte es un círculo. Para una demostración completa, necesitaríamos partir de la explicación de los axiomas, y después poco a poco demostrarlo. Esto sería difícil, y sobre todo, ¡muy largo de hacerse! Sería difícil porque la elección de los axiomas es algo delicado y uno debe decir que la elección de Euclides no fue la ideal (pero esto ocurrió hace 2300 años).

Una elección impecable de axiomas (¿hasta cuándo?) fue propuesta por Hilbert en el siglo veinte, pero no es fácil de utilizar, especialmente en la escuela secundaria. En la película, uno debe abandonar la idea de una demostración axiomática completa, y actuar "como si" demostráramos el teorema por completo, aun cuando implique que nuestra demostración sea suceptible a todo tipo de críticas. También debemos asumir que el espectador ya conoce ciertos teoremas, como el teorema de Pitágoras por ejemplo, o incluso que ha entendido su demostración. 

En lugar de comentar la demostración del teorema tal como la presenta Riemann en la película, lo cual pensamos está claro (de ser necesario, ve esta página -en inglés-), ¡preferimos comentar sus fallas! ¡Nuestra meta no es comprobar que la demostración es incorrecta! Queremos explicar que una demostración con frecuencia tiene un carácter implícito, y que las demostraciones con una deducción completamente lógica son poco frecuentes. Demostrar un teorema, ya sea en la actividad diaria de un matemático, o en salón de clases de una escuela secundaria, es esencialmente convencer al lector u oyente que lo que uno dice es verdad. Al hacerlo, sucede que uno utiliza argumentos que permanecen injustificados porque uno sabe que el lector/oyente es perfectamente capaz de justificarlos.

¡Después de todo, los matemáticos son simplemente humanos (¡!) y la comunicación entre seres humanos no puede (todavía) hacerse de manera completamente axiomática! Es posible escribir una demostración matemática hasta el último detalle pero es difícil encontrar personas que quieran leerla. El arte de ser matemático, o maestro, es escribir y presentar una demostración de tal manera que se tome en consideración la experiencia de los lectores/oyentes, y se pueda convencerlos con las respuestas a todas sus objeciones.

¿Cuáles son los "errores" y los "elementos implícitos" en esta demostración? He aquí algunos de ellos:

- ¿Acaso es obvio que siempre es posible dibujar una línea perpendicular de un punto a un plano? ¿Fue comprobada?

- ¿Acaso es obvio que una línea dibujada desde el polo norte a un punto en el plano tangente al polo sur siempre cortará a la esfera en otro punto distinto?

- La demostración muestra que la proyección de un círculo está contenida en un círculo, pero ¿muestra también que todo el círculo está en la proyección?

Estos son algunos ejemplos (que por supuesto pueden ser demostrados rigurosamente) pero los hemos enseñado aquí para señalar algunos de los elementos implícitos que están presentes en casi todas las demostraciones. El ideal de una demostración matemática completa es con frecuencia inaccesible, pero el matemático debe tener esto en mente para evitar errores (¡...y la experiencia con los errores del pasado es de mucha ayuda aquí!). En la actualidad algunas demostraciones pueden ser verificadas por computadora, pero esto nunca reemplazará el profundo placer que experimenta un matemático o estudiante cuando ocurre la comprensión de un teorema: cuando comprende realmente porque es verdad. Este placer es con frecuencia la verdadera motivación de los matemáticos.

¡Hacer matemáticas es sobretodo demostrar lo que uno afirma!