Hoofdstuk 9 : Bewijs 

Wiskundige Bernhard Riemann legt het belang uit van het bewijs in de wiskunde. Hij bewijst een stelling over de stereografische projectie. 

1. De erfenis van Euclides

Dit hoofdstuk is een beetje speciaal...We hadden dit vlak na hoofdstuk 1 kunnen plaatsen, maar men kan het ook volledig onafhankelijk van de rest bekijken. Noem het een bonus. Het doel is om door middel van een voorbeeld uit te leggen hoe bewijzen de bouwstenen zijn van de wiskunde.

Euclides heeft duidelijk de spelregels van de wiskunde vastgelegd, en daarvoor zijn de wiskundigen hem erkentelijk. Euclides heeft misschien geen enkel belangrijk resultaat geboekt, maar toen hij een van de grootste wiskundige teksten aller tijden samenstelde: de Elementen, had hij het genie om een wiskundige methode voor te stellen .

Gedurende meer dan 2000 jaar is dit boek een onbetwiste referentie geweest! De originaliteit van het boek ligt in de structuur. Al de formuleringen en stellingen worden volledig gestaafd door eerdere formuleringen. Euclides had echter wel begrepen dat men niet altijd iets kan bewijzen op basis van eerdere stellingen: men nu eenmaal moet met iets beginnen! Het is dus belangrijk om zich in het begin van het boek akkoord te stellen over een reeks feiten waarvan men de lezer vraagt om ze zonder bewijs aan te nemen. Die formuleringen noemt men axioma's of postulaten. Het idee van Euclides is dus om te starten met een lijst van axioma's als fundering, en zo een huis te bouwen waarbij elk steen vast rust op de vorige. Men kan oude versies van de Elementen hier consulteren, en een Nederlandse vertaling daar.

Alle stellingen, behalve de axioma's, moeten dus bewezen worden: men moet uitleggen waarom ze waar zijn, en men mag daarbij de regels van de logica gebruiken, de stellingen die men al bewezen heeft, en natuurlijk de axioma's die men in het begin heeft vastgelegd. Dit is de axiomatische methode. Men mag natuurlijk niet om het even welke stelling als axioma nemen;: zo kan men bijvoorbeeld geen tegenstrijdige axioma's nemen!  De keuze van de axioma's is niet gemakkelijk en de niet-tegenstrijdigheid is misschien niet voldoende. Het spreekt vanzelf dat de meetkunde die men in de scholen onderwijst stellingen moet bevatten die "waar" zijn in de realiteit, en de axioma's moeten dus in die zin gekozen worden. Daarnaast is het echter perfect mogelijk om een stel niet-tegenstrijdige axioma's te kiezen die in de realiteit niet waar zijn. Een klassiek voorbeeld daarvan is de niet-Euclidische meetkunde die, zoals de naam het aangeeft, van andere axioma's vertrekt dan die van Euclides, maar die even solide is als de Euclidische meetkunde, hoewel de stellingen misschien niet geldig zijn  in de fysica.

2. Een stelling

Om te illustreren hoe een wiskundig bewijs in zijn werk gaat hebben wij een stelling gekozen die niet gemakkelijk is, en waar men op het eerste zicht zou aan twijfelen. We hebben ze al vernoemd in hoofdstuk 1.

Dit is een zeer oude stelling. Kende Hipparchus ze al? Moeilijk te zeggen.

Het idee om de sfeer S² te beschouwen als een complexe rechte waaraan men een punt op oneindig toevoegt wordt dikwijls toegeschreven aan Bernhard Riemann  (zelfs al komt men het idee ook vòòr Riemann tegen...) : men spreekt over de sfeer van Riemann. Deze wiskundige is zonder enige twijfel een van de meest creatieve aller tijden, en het leek ons een ideale persoon om het bewijs van de stelling over "zijn" sfeer voor te stellen.

Het werk van Riemann is geniaal: dank zij hem denken we nu op een andere manier over een groot aantal wiskundige concepten. Slechts één voorbeeld: hij heeft ons geleerd hoe nuttig het kan zijn om een algebraische curve in het reëel vlak te bestuderen door middel van de complexe versie van die curve in het complexe vlak, waar ze dus een oppervlak wordt..Dit is de theorie van de Riemann oppervlakken. Onnodig eraan toe te voegen dat dit een prachtige theorie is... 

We moeten dus bewijzen dat de projectie van een cirkel die niet door de noordpool gaat een cirkel is. Om een volledig bewijs te geven moeten we vertrekken van de axioma's, en alles beetje bij beetje in een logische volgorde bewijzen. Dat is moeilijk, en vooral langdradig! Het is moeilijk omdat de keuze van de axioma's nogal delicaat is, en het moet gezegd worden dat de keuze van Euclides soms wat te wensen overlaat (maar dat was 2300 jaar geleden).

Een onaanvechtbare keuze (tot wanneer?) werd voorgesteld door Hilbert in het begin van de twintigste eeuw, maar dit is niet gemakkelijk om te gebruiken, zeker niet in het secundair onderwijs. In de film moeten we dus een volledige axiomatische aanpak achterwege laten, en doen alsof we deze stelling volledig bewijzen, zelfs al zal dan ons bewijs openstaan voor allerlei kritiek. We moeten tenandere veronderstellen dat de kijker bepaalde stellingen al kent, zoals de stelling van Pythagoras bijvoorbeeld.

Liever dan het bewijs van de stelling zoals ze door Riemann wordt voorgesteld te commentariëren (we denken dat ze zeer duidelijk is, maar dit artikel kan nog helpen), zouden we liever spreken over de gebreken ervan! Ons doel is daarbij natuurlijk niet om aan te tonen dat het bewijs fout is! Wat we wel willen doen is uitleggen dat een bewijs zeer dikwijls een impliciet karakter heeft, en dat het zelden voorkomt dat het een volledige bewijsvoering is. Een stelling bewijzen, of het nu gebeurt in de praktijk van een wiskundige, of in een klas op school, komt altijd neer op het overtuigen van kritische toehoorders dat een bewering waar is. Het gebeurt dat men daarbij argumenten gebruikt (soms impliciet) die men niet justifieert, omdat men weet dat de toehoorder of de lezer die justificatie zelf kan maken.

Laat ons niet vergeten dat wiskundigen ook maar mensen zijn (!) en dat de communicatie tussen mensen niet axiomatisch kan vastgelegd worden. Een wiskundig bewijs kan in al zijn details neergeschreven worden, maar er zijn niet veel personen die zulke volledige bewijzen op hun nuchtere maag willen lezen. De kunst van de wiskundige, of de leraar, bestaat er daarentegen in om een bewijs zo te structureren dat rekening gehouden wordt met de wiskundige ervaring van de toehoorder en dat het geheel overtuigend is, met antwoorden op alle vragen en tegenkantingen.

Wat zijn de "tekortkomingen" en "impliciete zaken" in het bewijs dat wordt voorgesteld? Hier zijn er enkele:

- Is het evident dat men altijd een loodlijn kan neerlaten uit een punt op een vlak? Heeft men dat bewezen?

- Is het evident dat een lijn die de noordpool verbindt met een punt op het raakvlak aan de zuidpool altijd de cirkel snijdt?

- Het bewijs toont aan dat de projectie van een cirkel op een cirkel ligt, maar toont ze ook dat gans de cirkel in de projectie ligt?

Dit zijn maar een paar voorbeelden, die men natuurlijk op een sluitende manier kan bewijzen, maar we brengen ze hier naar voor om de kijker te waarschuwen voor impliciete zaken die in haast elk bewijs te vinden zijn. Een ideaal wiskundig bewijs is dikwijls niet goed leesbaar, en de wiskundige moet zich daarvan bewust zijn om fouten te vermijden, en daarvoor kan hij gewoonlijk steunen op zijn ervaring met fouten in het verleden. Sommige bewijzen kan men vandaag controleren met de computer, maar dat zal nooit het plezier vervangen dat een wiskundige of een leerling voelt als hij/zij een stelling begrijpt, dus als hij/zij echt begrijpt waarom de stelling waar is. Dit plezier is dikwijls de echte motivatie van wiskundigen!

Aan wiskunde doen is in de eerste plaats bewijzen wat men beweert!