第９章：　証明

数学者ベルンハルト・リーマンが， 数学における証明の重要性を語る．ステレオグラフ射影についてのひとつの定理が証明される．

１．ユークリッドの遺産

この章は少し特別な章である… 実際，第１章の続きにあっても良い内容でもあるし，他の章とは独立に見ることができる．ある意味でおまけである！ この章の目的は証明が数学の核心であることをひとつの例で説明することである．

数学者はユークリッドが数学のゲームのルールを明確に定義したことに感謝している． ユークリッド自身は，重要な結果を示してはいないのかも知れないが， 歴史上で最高の数学書である原論という書物をまとめるにあたって，数学の方法を提示した天才である．

この書物は２０００年近くにわたって，比類のない文献であった． この書物の独創的なところは，その構造である． すべての主張，定理，命題などは，それまでに証明された主張の上に完全に証明されている． しかし，ユークリッドには，すべてのことを，それまでに示したことから証明することはできないことがわかっていた： （無限の長さの本を書かない限り！）何かから始めなければならない． つまり，いくつかの事柄を読者が証明なしに受け入れることを本の始めに要請しなければならない． これらの事柄は，公理あるいは公準と呼ばれる． ユークリッドの考え方は，まず一連の公理を最初に並べ，それからその土台の上に，前に置いた石の上に石を積むように建築していくことである． ここにフランス語の古いテキストがあり， こことここに説明があるので参照されたい．

公理以外のすべての主張は証明されなければならない： つまり，なぜ正しいか説明しなければならない．そのためには，論理法則とすでに証明した主張または最初に決めた公理を使うことだけができる． これが公理的方法である． もちろん，どんな主張でも公理に選べるわけではない：例えば，２つの矛盾した主張を選ぶことはできない！ 公理を選ぶことは容易ではない． 無矛盾であることで十分だろうか？ 公理から導かれるもの，例えば中学で学ぶ幾何学が，現実に「正しい」定理を示すものであることが必要である． だから，選ばれた公理は物理的な現実を反映していなければならない． 一方，数学者は物理的に正しくなくても，無矛盾の公理系の上で理論を構築できる． 古典的な例として非ユークリッド幾何がある． それは，名前の通り，ユークリッドのものとは異なる公理から出発するものである．それは，ユークリッド幾何と同じように，堅牢に構築されているが，その定 理は物理的には正しくないものであるかもしれない． この公理的方法については，もっと多くの議論があるのである．

２．ひとつの定理

数学的な証明がどのように行われるかを説明するために，少し難しい定理を選んだ！ だから，初めはその定理が本当かどうか疑ってもよい… その主張は第１章で述べている．

この定理は，非常に古くから知られていた． ヒッパルコスは知っていただろうか？彼は証明しただろうか？それはわからない．

球面 S ² を，複素直線に無限遠点を加えたものと考えることは，（それより前に見つかっていたとしても& amp; amp; hellip;）しばしばベルンハルト・リーマンによるとされ，リーマン球面と呼ばれる． 彼は歴史上で最も創造的な数学者のひとりであることは疑う余地のないことである． 彼に，彼の名前の球面に関係する，この定理を説明してもらうのは理想的である！

リーマンの業績は天才的といってよい：彼のおかげで，たくさんの数学の概念を異なる見方で考えられるように なった． ひとつだけ例を挙げると： 彼が，平面上の代数曲線を複素平面の中で，複素的に，複素曲線として，つまり曲面として考えることの有効性を教えてくれたのである& hellip; これがリーマン面の理論である． これは最も美しい理論のひとつであることは言うまでもない．

北極を通らない円周のステレオグラフ射影が円周となることを証明しよう． 完全な証明をするとなると，公理を説明することから始めて，論理的な順序で，順々にすべてを証明していかなければならない． それは，難しいし，時間がかかりすぎる！ 難しいのは，公理の選択の仕方にも微妙なところがあるからだ． ユークリッドの公理の選択の仕方は，いささか理想的でなかったと言わざるを得ない（しかしこれは２３００年前のことである）．

反論の余地のない（いつまで？）公 理の選び方はヒルベルトにより２０世紀になって提案されているが，使いにくいし，中学高校で教えるのには向いていない（ここを参照されたい）． ビデオでは，完全な公理主義はあきらめるけれども，この定理の完全な「公理主義的」な証明を与える． この我々の証明には多くの批判があるだろう． 一方このビデオでは，見る人が，ピタゴラスの定理などいくつかの定理を知っていて，その証明も理解していることを前提としている．

ビデオの中でリーマンが説明する定理の証明については，十分よくわかるものになっていると思う（必要ならば， この古い論文，このページ， または，このページを参照されたい）． だから，その解説をするよりも，欠点について述べよう！ もちろん，この証明が正しくないことを示すというわけではない！ しばしば，証明には暗黙の部分があることと，完全に論理的に演繹されているとは限らないことを説明したいということだ． 定理を証明することは，数学者が実際に行っていることをみても，中学生が実際に行っていることをみても，本質的に，相手に主張が正しいことを納得させると いうことである． だから，（しばしば暗黙のうちに）証明しない主張を使うことがある．それは，聴衆，読者あるいは視聴者が，自分で証明できることを知っているからである．

数学者も人間である（！）ことを忘れてはいけないし，人間の間のコミュニケーションは完全に公理的におこなわ れることは（今のところは）ありえない！ 数学の証明はすべての細部にわたって書き下すことは可能であるが，この全く消化できないような完全な証明を読むことができる人間はいないと言わざるを得な い． 逆に，数学者あるいは教育者の技というものは，相手の数学の経験に応じて，彼を説得し，反論にすべて答えられるような証明を書いて示すことができるところ にある．

ビデオで示した証明の「欠点」や「暗黙の了解」はどこにあるのだろうか？ そのいくつかを挙げよう：

- 例えば，１点から平面へ垂線が常に下ろせるのは明らかだろうか？ 証明しているか？

- 北極と南極におけるの接平面の点を結ぶ直線が球面と異なるもうひとつの点で交わるのは，そんなに明らかなことだろうか？

- 証明は，円周の射影はある円周に含まれることを示しているが，円周のすべての点が円周の射影になっていることを示しているだろうか？

これらは，例をあげたにすぎない． もちろん，きちんと証明できることである． しかし，ここでは視聴者がどんな証明にもある暗黙の部分があることに気をつけてもらうために明示したのである． 完全な数学の証明の理想的な形を求めると，それははほとんど理解しがたいものである． 数学者は，意識的に間違いを回避するようにしなければならない． そのために，数学者は過去に犯した間違いの経験から学んでいる． 証明のあるものは，現在では計算機で確かめることができるが，それは決して数学者や生徒が定理を理解した時，すなわちなぜそれが正しいかわかったときに抱 く，生き生きとした喜びに代われるものではない． この喜びがしばしば数学者の研究の真の動機になっている!

数学をすることとは，何よりもまず主張を証明することである！