Chapitre 1 : la dimension deux
Hipparque
explique comment deux nombres permettent de décrire la
position d'un point sur une sphère.
Il explique la projection stéréographique :
comment dessiner la Terre ?
Hipparque est le
premier héros
de notre histoire. Il ne faut pas prendre trop au sérieux ce
qu'il nous dit ! Il affirme être le fondateur de la
géographie et de l'astronomie. C'est peut-être un
peu
exagéré. Qui peut se vanter à ce point
?
Les voyageurs n'ont-ils pas
toujours décrits leurs voyages et les bergers n'ont-ils pas
toujours admiré les étoiles ? Il est bien rare
qu'un seul
individu puisse créer une science... Mais rendons hommage
à Hipparque, l'un des très grands savants de
l'Antiquité.
On connaît peu de choses sur
la vie
d'Hipparque. Il est né vers 190 avant J.-C. et mort vers 120
avant J.-C. On pourra consulter cet article pour
une courte description ou encore ce site pour une biographie plus
développée. Dans
tous les cas, il n'y a
aucun
doute
que notre savant ait
été l'un des tous premiers à
établir des
catalogues d'étoiles et à
en mesurer les positions sur la
sphère céleste avec une précision
étonnante.
La communauté des astronomes lui a rendu hommage en
baptisant de
son nom un cratère sur la Lune.
Citons Hergé dans On
a marché sur la
Lune :
"le cirque d'Hipparque n'a pas besoin de clowns, donc vous ne
pouvez
pas faire l'affaire..."
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Le second rôle dans ce
chapitre est
joué par Ptolémée
qui a vécu trois
siècles après lui, entre 85 et 135
après J.-C. Grand astronome et géographe lui
aussi, il
s'est inspiré des travaux d'Hipparque, mais les historiens
ne semblent pas d'accord sur l'importance de cette influence.
Ptolémée ne serait-il qu'un continuateur
d'Hipparque ?
Question difficile que nous laisserons aux spécialistes.
Pour une biographie de
Ptolémée,
voir ceci,
et pour une analyse plus détaillée, on pourra
consulter ce site.
Rassurez-vous, Ptolémée a aussi son
cratère sur la
lune !
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2. Longitude et latitude
Que nous apprennent
Hipparque et Ptolémée
dans ce premier chapitre ?
L'idée de ce qu'on appelle aujourd'hui un système de
coordonnées.
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La Terre est ronde. On le sait depuis
très
longtemps et, avant même qu'on en fasse le tour, des
géomètres grecs astucieux avaient
trouvé le moyen
d'en mesurer le périmètre, sans se tromper de
beaucoup
(voir par exemple
cette page ).
La Terre tourne d'un tour par jour autour
d'un axe
qui joint deux points qu'on appelle les pôles nord et sud.
Elle tourne également d'un tour par an autour du Soleil,
mais ni
Hipparque ni Ptolémée ne le savaient puisqu'ils
pensaient
au contraire que c'est le Soleil qui tourne autour de la Terre... Il a
fallu attendre
Copernic, au seizième siècle, pour
qu'on commence
à deviner que c'est bien la Terre qui tourne autour du
Soleil.
La détermination
précise de la forme
de la Terre a pris
beaucoup plus de temps et ce n'est que depuis quelques dizaines
d'années qu'on peut en mesurer les dimensions au
centimètre près ! Et la Terre ne
diffère
pas beaucoup d'une sphère : elle est certes un peu aplatie
aux
pôles mais le rayon polaire
(6 356 km) et le rayon
équatorial (6 378 km) ne diffèrent pas
beaucoup.
Regardez cette page (en anglais) pour en
savoir plus.
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Alors, Hipparque nous invite à
faire
comme si la
Terre
était exactement une sphère et nous explique
ensuite les
rudiments de la géométrie sphérique.
Par
définition, une sphère est
l'ensemble des points de l'espace qui
sont
à
la même distance d'un point qu'on appelle son centre. Une droite
qui passe par le
centre d'une sphère coupe la sphère en deux
points ;
c'est un axe de symétrie pour la sphère. Si l'on
choisit
une telle droite, on peut y penser comme l'axe de rotation de la Terre,
et les deux points d'intersection sont alors appelés les
pôles nord et sud.
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Un plan qui passe par le centre d'une
sphère la rencontre sur un cercle qu'on appelle un grand
cercle, et qui décompose la sphère
en deux hémisphères.
Dans le cas particulier où ce plan passant par le centre est
perpendiculaire à l'axe choisi, on parle du plan de l'équateur,
et les hémisphères sont appelés
austral
(au sud) et boréal
(au
nord). Un plan qui contient l'axe
coupe la sphère sur un grand
cercle qui passe par les deux pôles. Ces cercles sont
constitués de deux demi-cercles qui joignent les
pôles :
on les appelle les méridiens.
Tout point sur la Terre,
à l'exception des pôles, est situé sur
un seul
méridien. Puisque nous supposons que la Terre est une
sphère, tous les méridiens ont la même
longueur :
la distance qu'il faut parcourir le long de la Terre si on veut voyager
du pôle Nord au pôle Sud, c'est-à-dire
20 000 km
(à peu près).
Parmi tous les méridiens sur la
Terre, l'un
d'entre eux sert d'origine ; c'est celui qui passe par l'observatoire
de Greenwich
en Angleterre,
mais on aurait bien pu en prendre un autre (et les français
auraient bien aimé que ce soit celui qui passe par Paris !)
Les
autres méridiens sont décrits par un angle
(illustré en rouge sur la figure en dessous) qu'on appelle
sa longitude.
La
tradition géographique demande qu'on mesure cet angle entre
0 et
180 degrés, à l'est ou à l'ouest du
méridien de Greenwich.
Cliquez
sur l'image
à gauche pour un film.
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Les plans perpendiculaires à
l'axe coupent
la sphère sur des cercles qu'on appelle des parallèles.
On les appelle comme cela
peut-être parce qu'ils ne se coupent pas, comme des droites
parallèles... Les parallèles sont d'autant
plus petits qu'ils sont proches des pôles. L'équateur
est un parallèle particulier, à mi-chemin entre
les deux
pôles ; c'est le plus long des parallèles. Les
autres
parallèles peuvent être au nord ou au sud de
l'équateur, et ils sont décrits par un angle
illustré sur la figure en vert ; c'est la latitude.
Chaque point de la Terre, à
l'exception des
pôles, est
situé à l'intersection d'un parallèle
et d'un
méridien et on peut donc lui attribuer une longitude et une
latitude ; ce sont les coordonnées
géographiques
du point. Réciproquement
si on se
donne une latitude et une longitude, on
peut retrouver le point...
La chose importante dont il faut se souvenir
est
que pour
décrire un point sur
la surface
de la Terre, il faut deux nombres et que c'est pour cette
raison
qu'on dit que la surface de la Terre est de dimension 2.
D'ailleurs, pour un
mathématicien, une surface est un objet de dimension 2 ; ce
peut
être la surface de la Terre mais aussi le plan d'une table,
ou la
surface d'un ballon de rugby.
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Cliquez sur l'image
pour un film. |
Mais nous ne vivons sur la surface de la
Terre
qu'en
première
approximation ! Il nous arrive de prendre l'avion par exemple... Alors,
les deux nombres latitude et longitude ne suffisent plus pour
préciser notre position. Il faut encore dire à
quelle
altitude on est. Il
faut
donc trois nombres pour décrire un
point dans l'espace et on dit que l'espace
est de dimension 3. Nous
reviendrons sur cela plus tard...
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3. Projections
Dans la deuxième partie de ce chapitre,
Hipparque
nous explique
une des très grandes idées des
mathématiques, ce
que l'on appelle une projection. La
Terre est ronde
mais
on aimerait la
représenter sur
un plan, sur une feuille de papier par exemple, pour en faire une carte
qu'on
puisse
insérer dans un
atlas.
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Il y a beaucoup de méthodes pour
cartographier la Terre. Le principe général est
de
choisir une zone sur la Terre et d'associer à chaque point p
de cette zone un point F(p) dans
le plan. On a ainsi
représenté la zone en question dans une partie du
plan.
Choisir la représentation F
est l'art du
cartographe qui cherche à privilégier telle ou
telle
caractéristique. L'idéal serait que la carte soit isométrique,
c'est-à-dire qu'on puisse mesurer la distance entre deux
points p,q
en mesurant la distance entre leurs représentations F(p)
et F(q). Malheureusement, ces
cartes idéales
n'existent pas et il faut faire des compromis. Certaines cartes
cherchent à représenter fidèlement
les superficies par exemple. La cartographie est un sujet passionnant
qui a une longue histoire, souvent parallèle à
celle des
mathématiques, et qui a fait des progrès
considérables récemment, en particulier
grâce
aux mesures précises et à l'informatique. Voici
par
exemple deux sites
qui peuvent servir de point de départ
à une
étude de cette science.
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La carte que nous présente Hipparque
porte un nom
savant : la projection
stéréographique. Il faut
bien dire qu'elle ne sert pas beaucoup dans les atlas d'aujourd'hui,
sauf lorsqu'il s'agit de représenter les zones polaires.
Mais nous verrons peu à peu au cours du film que cette
projection a un intérêt mathématique
considérable et qu'elle est bien pratique.
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Sa définition est très
simple. On
considère le plan tangent P
à la Terre au
pôle sud. Pour chaque point p
de la sphère
différent du pôle nord, on
peut tracer la droite pn
qui joint p au pôle
nord. Cette droite rencontre
le plan tangent P en un autre
point F(p).
La projection stéréographique est donc une
représentation
de la sphère privée du pôle nord sur le
plan P.
Qui a inventé cette projection ?
Encore un
débat
historique compliqué... Certains parlent d'Hipparque,
d'autres
de Ptolémée, d'autres enfin affirment
qu'Hipparque a bien
inventé cette projection mais qu'il n'en connaissait pas les
propriétés.
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Cette projection a trois
propriétés
essentielles, très reliées entre elles.
La première,
largement illustrée
dans le film, est que la
projection
transforme un cercle
tracé sur la sphère en un cercle ou une droite du
plan.
Si vous avez la patience d'attendre le dernier chapitre, vous
comprendrez pourquoi.
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Pour bien montrer cela, Hipparque s'amuse
à
faire rouler la Terre sur le plan tangent au pôle sud. Alors,
ce
n'est plus le sud qui est en contact avec le plan et ce n''est plus
à partir du pôle nord qu'on projette mais on
continue
toujours à projeter à partir du point "le plus
haut" sur
le plan tangent au point "le plus bas". Une rotation
hypothétique peu raisonnable mais qui donne de bien jolies
projections.
Cliquez
sur l'image
à gauche pour un film.
La seconde,
qui n'est pas illustrée
dans le film, est
que la projection
respecte les angles.
Cela veut dire que si on
prend deux courbes sur la sphère qui se coupent en un point
avec
un certain angle, les projections des courbes
se couperont sur le même angle. On voit sur l'image
à
gauche que les projections des méridiens et
parallèles
se coupent à angle droit, comme ils se coupent à
angle
droit sur la sphère. Bien pratique pour un navigateur qui
mesure le cap de sa route et aimerait bien que les angles qu'il mesure
se retrouvent exactement sur sa carte.
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La troisième,
c'est que même
si elle ne réalise pas l'idéal de
préserver les
distances, elle fait "pour le mieux". Prenons un point p
sur la sphère et considérons une
région R
très petite autour de p.
La projection
stéréographique transforme la région R
en une région F(R)
autour du point F(p).
Il se trouve que plus R est
petit et plus F
respecte la forme de R. Ceci signifie la
chose suivante
: il existe une constante k,
qu'on peut
appeler l'échelle
de la carte
dans R, telle que
si q1
et q2
sont deux
points de R, le rapport des
distances entre q1
et q2
(dans la sphère) et F(q1)
et F(q2) sur
le plan
est presque égal à k.
Que veut dire ce
"presque" ? Que ce rapport est d'autant plus proche de k
que R devient petit. Au
delà de la formulation
mathématique précise, cela veut dire que la carte
respecte les formes des petites zones. C'est pour cela qu'on dit
qu'elle est conforme.
C'est
la principale qualité de la
projection stéréographique : elle est presque
parfaite
pour un utilisateur qui ne l'utilise que dans le voisinage de chez lui
!
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Après ce premier voyage, retenons la
leçon
d'Hipparque : la sphère est de dimension 2 car on
décrit ses points par deux coordonnées,
latitude et
longitude, et il est bien pratique de la représenter dans un
plan
grâce
à la projection stéréographique...
Tout cela nous sera très utile pour explorer
dans la troisième dimension puis dans la
quatrième !
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