Hoofdstuk 1 : dimensie twee 

1. De presentator

Hipparchus is de eerste held van ons verhaal. Hij zegt dat hij de ontdekker is van de aardrijkskunde en de sterrenkunde, maar dat moeten we niet te serieus opnemen! Wie kan op zoiets prat gaan? Hebben reizigers niet altijd hun tochten beschreven, en hebben herders niet altijd de sterren bewonderd? Het komt maar heel weinig voor dat een individu een wetenschap kan creëren...  Maar ere wie ere toekomt, Hipparchus is een van de grote geleerden van de Oudheid.

Over het leven van Hipparchus weten we maar weinig. Hij werd geboren rond 190 v.C., en stierf rond 120 v.C.. Voor een korte beschrijving kan men dit artikel consulteren, of  deze site voor een uitgebreide biografie. Onze geleerde is alleszins een van de allereerste die een sterrencatalogus heeft opgesteld, en de posities van de sterren op het uitspansel heeft vastgelegd met een verbazende precisie. De gemeenschap van astronomen heeft hem hulde gebracht door een krater op de Maan naar hem te noemen. Het is in die krater dat Kuifje met zijn gezelschap landt in het album Mannen op de Maan.

De tweede rol in dit hoofdstuk wordt gespeeld door  Ptolemaeus.  Hij leefde drie eeuwen na Hipparchus, tussen 85 en 135 n.C.. Als grote astronoom en aardrijkskundige heeft hij zich laten inspireren door het werk van Hipparchus, maar de geschiedkundigen verschillen van mening over het belang van deze invloed.. Is Ptolemaeus louter iemand die het werk van Hipparchus heeft voortgezet? Moeilijke vraag die we aan de specialisten overlaten.

Voor een biografie van Ptolemaeus kan U hier kijken, of deze deze site voor een meer gedetailleerde analyse; Stel U gerust, ook Ptolemaeus heeft zijn krater op de Maan!

2. Lengtegraad en breedtegraad

Wat leren we van Hipparchus en Ptolemaeus in dit eerste hoofdstuk? ? Het begrip dat we vandaag een coordinatensysteem noemen.

De Aarde is rond. Men weet dat al heel lang, en lang voor men de aarde rond gereisd heeft hebben slimme Grieken al een manier gevonden om de omtrek van de Aarde redelijk nauwkeurig te berekenen (zie bijvoorbeeld deze pagina ).

De Aarde draait één toer per dag rond een as die twee punten verbindt die we de noord- en zuidpool noemen. Ze draait ook nog één toer per jaar om de Zon, maar noch Hipparchus, noch Ptolemaeus wisten dat, want ze dachten dat de Zon om de Aarde draait... We hebben moeten wachten op Copernicus, in de zestiende eeuw, om te beginnen inzien dat het wel degelijk de Aarde is die om de Zon draait.

Het bepalen van de juiste vorm van de Aarde heeft veel langer geduurd, en het is slechts in de laatste tientallen jaren dat men de afmetingen tot op de centimeter kan meten ! De vorm van de Aarde wijkt niet veel af van een sfeer: ze is wel wat afgeplat aan de polen, maar de straal aan de polen (6.356 km) en de straal op de evenaar (6.378 km) verschillen niet veel. Bekijk deze pagina (in het Engels) om er meer over te weten.

Hipparchus nodigt ons uit om de aarde als een perfecte sfeer te beschouwen, en legt ons dan de basisbegrippen van sferische meetkunde uit. Een sfeer is per definitie de verzameling van de punten die op een zelfde afstand liggen van een punt dat men het middenpunt noemt. Een sfeer is dus een holle bol. Een rechte door het middenpunt ontmoet de sfeer in twee punten; het is een symmetrie as voor de sfeer. Als men een dergelijke rechte kiest, kan men die beschouwen als de rotatie as van de Aarde, en de twee snijpunten zijn dan de noordpool en zuidpool.

Een vlak door het middenpunt van een sfeer ontmoet de sfeer volgens een cirkel die men een grote cirkel noemt, en die de sfeer in twee hemisferen verdeelt. In het speciale geval dat het vlak loodrecht staat op de gekozen as spreekt men van het vlak van de evenaar, en de hemisferen noemt men australisch (ten zuiden), en borealisch (ten noorden). Als de as in het vlak ligt snijdt het vlak de sfeer volgens een grote cirkel die door de twee polen gaat. Een dergelijke cirkel bestaat uit twee halve cirkels die de polen met elkaar verbinden : men noemt dit meridianen. Elk punt op de Aarde, behalve de twee polen, ligt op één enkele meridiaan. Aangezien we aannemen dat de Aarde een sfeer is zijn alle meridianen even lang : de afstand die men moet afleggen om van pool naar pool te reizen (ongeveer 20.000 km)

Tussen al de meridianen is er één die als oorsprong dient: het is diegene die door het observatorium van Greenwich in Engeland loopt, maar men had net zo goed een andere kunnen kiezen. (zo hadden de Fransen waarschijnlijk graag gehad dat men de meridiaan door Parijs gekozen had!) De andere meridianen zijn bepaald door een hoek ( in het rood in de illustratie hieronder) die men de lengtegraad noemt. In de aardrijkskunde wordt deze hoek traditioneel uitgedrukt tussen 0 en 180 graden ten westen en ten oosten van de meridiaan van Greenwich.

Klik op het beeld links voor een film.

Vlakken loodrecht op de as snijden de sfeer volgens cirkels die men breedtecirkels of parallelen noemt. Men noemt ze zo omdat ze mekaar niet snijden, zoals evenwijdige lijnen...Hoe dichter bij de polen, hoe kleiner de breedtecirkels. De evenaar is een speciale breedtecirkel, halfweg tussen de polen, en het is de langste. De andere liggen ten noorden of ten zuiden van de evenaar, en worden beschreven door een hoek (in het groen op de illustratie rechts) : het is de breedtegraad.

Elk punt op de Aarde, behalve de polen, ligt op het snijpunt van een lengtecirkel en een breedtecirkel, en men kan er dus een lengtegraad en breedtegraad aan toekennen: dit zijn de geografische coordinaten van het punt. Omgekeerd kan men het punt terugvinden als men de lengtegraad en de breedtgraad kent..

Belangrijk om te onthouden is dat men twee getallen nodig heeft om een punt op de Aarde te beschrijven, en het is daarom dat men zegt dat het oppervlak van de Aarde dimensie 2 heeft. Voor een wiskundige is een oppervlak altijd een voorwerp met dimensie 2: dit kan de oppervlakte van de Aarde zijn, maar ook het vlak van een tafel, of het oppervlak van een rugbybal.

Langs de andere kant leven wij slechts bij benadering op het oppervlak van de Aarde. Soms nemen we wel eens het vliegtuig...Op dat ogenblik volstaan de twee getallen niet meer om onze positie juist te bepalen. We moeten nog weten op welke hoogte we ons bevinden. Om een punt in de ruimte te bepalen zijn er dus drie getallen nodig, en men zegt dat de ruimte dimensie 3 heeft. We komen daar later nog op terug.

3. Projecties

In het tweede deel van dit hoofdstuk legt Hipparchus ons een van de grote ideeën uit de wiskunde uit: projecties. De Aarde is rond, maar we willen ze graag tekenen op een vlak, op een blad papier dat kan dienen als kaart in een atlas.

Er bestaan veel manieren om de Aarde in kaart te brengen. Het algemeen principe is om een zone op de Aarde te kiezen, en aan elk punt p van die zone een punt F(p) in het vlak te associëren. Zo heeft men dan de zone in kwestie weergegeven op het vlak. De keuze van de representatiefunctie F is de kunst van de cartograaf die probeert de een of de andere karakteristiek te bevoordelen. De ideale kaart zou isometrisch zijn: daarop zou men de afstand tussen twee punten p,q kunnen meten door de afstand te meten van hun representaties  F(p) en F(q) in het vlak. Spijtig genoeg bestaan er zo geen ideale kaarten, en men moet compromissen sluiten. Sommige kaarten proberen bijvoorbeeld de oppervlakte getrouw weer te geven.. De cartografie is een fascinerend onderwerp met een lange geschiedenis, die dikwijls parallel liep aan die van de wiskunde. Er is in het recente verleden nog grote vooruitgang in geboekt, dank zij steeds nauwkeuriger metingen, en dank zij de informatica. Hier zijn bijvoorbeeld twee sites die kunnen dienen als vertrekpunt om er meer over te leren.

De kaart die Hipparchus ons voorstelt heeft een geleerde naam : de stereografische projectie. We moeten er wel bij zeggen dat ze in de atlassen van vandaag niet veel voorkomt, behalve als het gaat over kaarten van de zones rond noord- of zuidpool. Doorheen de film zullen we nochtans zien dat deze projectie wiskundig zeer interessant is, en zeer praktisch voor wat wij willen tonen.

De definitie is zeer eenvoudig. Men beschouwt het raakvlak P aan de Aarde  op de zuidpool. Voor elk punt p van de sfeer behalve de noordpool kan men de rechte pn trekken die p verbindt met de noordpool. Deze rechte onmoet het vlak P in een ander punt F(p). De stereografische projectie is dus een voorstelling van de sfeer, zonder de noordpool, op het vlak P.

Wie deze projectie heeft uitgevonden is ook een moeilijk historisch debat. Sommigen zeggen dat het Hipparchus was, anderen zeggen Ptolemaeus, en nog anderen zeggen dat het wel degelijk Hipparchus was, maar dat hij er de eigenschappen niet van kende.

Deze projectie heeft drie belangrijke eigenschappen, die sterk met mekaar verweven zijn. 

De eerste, die uitgebreid geïllustreerd wordt in de film, is dat de projectie van een cirkel op de sfeer een cirkel in het vlak is. Als U het geduld hebt om te wachten tot het laatste hoofdstuk, zal U begrijpen waarom. 

Om dat goed te tonen laat Hipparchus de Aarde rollen over een vlak dat raakt aan de zuidpool. Door dat te doen is het niet meer de eigenlijke zuidpool die in contact is met het vlak, en gebeurt de projectie niet meer vanaf de eigenlijke noordpool, maar wel altijd vanaf het "hoogste" punt ten opzichte van het raakvlak door het "laagste" punt. Deze rotatie is natuurlijk louter hypothetisch, maar geeft wel mooie projecties.

Klik voor het beeld links voor een film.

De tweede, niet geïllustreerd in de film, is dat de projectie de hoeken respecteert. De hoek tussen twee curves op de sfeer die mekaar snijden is gelijk aan de hoek tussen de projecties van de curves op het vlak. Op het beeld links ziet men dat de projecties van lengte- en breedtelijnen zich snijden onder een rechte hoek, net zoals op de sfeer. Deze eigenschap is zeer praktisch voor een navigator die zijn koers bepaalt: de hoeken die hij meet vindt hij exact terug op zijn kaart.

De derde is dat de projectie "haar best doet" om afstanden te respecteren, al slaagt ze daar niet volledig in. We nemen een punt p op de sfeer en beschouwen een zeer kleine zone R rond p. De stereografische projectie transformeert de zone R in een zone F(R) rond het punt F(p). Hoe kleiner R is, hoe beter F de vorm van R zal respecteren. Dit wil het volgende zeggen: er bestaat een constante k, die men de schaal van de kaart in R kan noemen, zodat, als q₁ en q₂ twee punten zijn van R, de verhouding van de afstanden tussen q₁ en q₂ (op de sfeer) en F(q₁) en F(q₂) op het vlak bijna gelijk is aan k. Wat betekent hier "bijna"? Dat die verhouding dichter bij k ligt naarmate R kleiner wordt. Men kan dit op een precieze wiskundige manier formuleren, maar het betekent dat de kaart de vormen zal respecteren van kleine zones. Men zegt daarom dat ze conform is. Het is de belangrijkste eigenschap van de stereografische projectie: ze is bijna perfect voor een gebruiker die ze enkel gebruikt  voor de buurt rond hem!

Na deze eerste reis onthouden we de les van Hipparchus: de sfeer heeft dimensie 2 want men heeft twee getallen nodig, lengtegraad en breedtegraad, om een punt te beschrijven, en het is handig om de sfeer voor te stellen op een vlak met de stereografische projectie.

Dat alles zal zeer nuttig zijn om de derde, en daarna de vierde dimensie te exploreren!