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第七、八章：纖維叢

數學家 Heinz Hopf 描述了他的「纖維叢」(Fibration)。他藉著複數的幫忙，在空間內交織出了美麗的圓形排列。
至第五章 至第九章

一、Heinz Hopf 與拓撲學

拓撲學 乃研究形變之學門。舉例而言，在右邊看到的杯子和輪胎是截然不同的兩樣物體，但是其中一樣東西可以透過連續形變，在不弄斷任何一處的情況下，變成另外一 樣；數學家們說杯子與輪胎是同胚(homeomorphic)的。而拓撲學家就是一群分不清楚他們的咖啡杯和甜甜 圈的人！！

同樣地，這門理論亦經過了很長一段時間才成為一支完全獨立、擁有著自己的（通常是性質上的）問題和原創方法的 學科。Henri Poincaré 常被認為是為拓撲學（他稱其為analysis situs）紮下了穩固根基的數學家，雖然在他之前已有許多極具名望的前輩，如 Euler、Riemann、Listing 或 Tait。

我們的主講人 Heinz Hopf (1894-1971) 是 Poincaré 在二十世紀上半葉時期最卓越的後輩之一。

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二、C2 內的 S3 球面

我們已經知道，四維空間內的單位 S3 球面即為距原點一單位長度的點之集合。若設此空間內四個實座標為 x1、y1、x2、y2， 則這個球面方程就是：

x12 + y12 + x22 + y22= 1。

但我們可以把 (x1,y1) 想成是一個複數 z1 = x1+iy1，而 (x2,y2) 則為複數 z2 = x2+iy2。 而 S3 球面就可以被想成是一個複數對 (z1,z2) 之集，使得

|z1|2 + |z2|2 = 1。

換言之，S3 球面可被視為複二維平面內一單位圓。類推而言（但僅止於類推而言），我們就可以把 S3 球面畫成是平面上的一個圓，但請切記：這是一個複平面，而 z1 與 z2 皆為複數。如，軸線 z2=0 就是一條複直線，即一實平面，而它與 S3 球面相交於皆滿足 |z1|2 = 1 的點 (z1,0) ，或換言之，皆在 S1 圓上的點。對於軸線 z1=0 與所有型如 z2= a.z1（其 中 a 為一複數）的過原點直線而言，上述依然成立。因此，每一個複數 a 都定義了一條複直線 z2= a.z1， 其交 S3 球面於一圓。故每個複數 a 皆對應到 S3 球面上的一個圓。此外，雖然軸線方程 z1=0 型非如此，它仍可被視為是對應到了無限的 a 值之情況（垂直的軸線不就是一條有著無限斜率的直線嗎？）。

所以 S3 球面上是充滿著圓的。對每一個 S2 內的點，即，對所有的複數 a 值（可取無窮大值），都有相對應的一個圓。沒有兩個這種圓會在有不同的 a 值之情況下相同。這種分解三維球面成圓的動作被稱為 Hopf 纖維化(fibration)。
請按上圖觀 賞影片。

回想：若設 X 與 Y 為兩集合，則一個由 X 到 Y 的一個映射(map) f， 又常記為 f : X → Y，就是一條可讓我們將 X 內之點 x 和 Y 內之點 f(x) 之間建立關係的規則。

例：考慮 Hopf 映射 f : S3 → S2。 它建立了一點 (z1,z2) 與點 z2/z1 之間的關係。

關於這點有兩個解釋：

第一，S3 上的一點就是二維複平面上的一點，而可以被其複座標 (z1,z2) 所描述。

第二，我們藉由球極投影可以看到，若於平面添加一無窮遠點(point at infinity)，則我們就可以得到一個 S2 球面。而當然，複數 z2/z1 只有在 z1 之值不為零的情況下方屬定義良好(well defined)的，若 z1 值為零，則我們就把 z2/z1 定為無窮遠點。所以 z2/z1 實可定義出 S2 上之一點。

對於 S2 上每一點 a，於 S3 內使得在 f 下的像(image)為 a 的點集（即 a 之原像［pre-image］），是 S3 內的一個圓。我們稱此點集為 a 上的纖維(fiber)。這與上述解釋之關聯就是：所有在一條線 z2= a.z1 上的點皆使得 z2/z1 為常量（這很明顯，因為它根本就等於 a ！）。

三、纖維叢

影片先請我們仔細觀察這個「纖維叢」。每個 a 值皆對應到一在 S3 內之圓。我們要怎麼將其加以具象化呢？當然是靠球極投影法了！我們由 S3 投影至接於投影極點對面的極點之三維切空間上。此投影是空間內的一個圓。您可以好好地欣賞它（別忘了那些蜥蜴！）。當然，這個 S3 上的圓有可能正經過北極點，因而造成其球極投影呈一直線（即少了一個點的圓……那個點已經跑到無窮遠處 了！）。

幾個序列闡明了此纖維叢：

首先，我們只看到一個 Hopf 圓。它與 a 值相對應。這個點 a 在 S2 上移動（請記得：它是一個加上了一無窮遠點的複平面），而我們就看到此圓在空間中移動，不時地當在 a 通過無窮遠點時變成一直線。

然後，我們看到了兩個正同時移動的 Hopf 圓。它們與兩個 a 值相對應。您可以在螢幕底部看到兩個正在移動的 a 點，而此二圓也同時跟著移動。順便一提，請注意：這兩個圓是像鐵鍊般地互相鏈結在一起的。我們不能在不扯斷它們的情況下將它們分開。

然後，我們看到了三個舞動中的 Hopf 圓。它們與三個 a 值對應……這些圓時而疏離、時而湊近……。
請按此圖觀 賞影片。

最後，我們同時看到了一大堆 Hopf 圓。a 值被隨機地選定而出，而相對應的圓就陸續跟著出現。我們就可以「看」到空間中充滿了圓，而這些圓並不相交。我們也終於可以瞭解「纖維叢」這個詞的來源了： 所有的圓都互相交織在一起，就像是織物的纖維一般：由局部上看來，它們整齊的像一束麵條。當初以 Hopf 映射為原形發展而成的纖維叢之概念，已成為了拓撲學與數理物理(mathematical physics)中的一個核心概念。有些纖維叢更為複雜，存在於更高維的空間之中，但對這個歷史性的例子能有一個清楚的觀念無疑是深具啟發意義的！

把實平面想成複數直線固然有用，但將實四維空間想成複二維平面更是有用多了！

四、纖維叢（續）

參見影片：第八章：纖維叢（續）

為了更透徹地理解 Hopf 纖維叢 f : S3 → S2， 考慮 S2 內一條緯線 p，以及 p 在 f 下的「原像」，即於 S3 內滿足在 f 下之像是屬於 p 的點集。由於 S2 內各點的原像（各纖維）皆為一 Hopf 圓，而又由於一條緯線也同時是一個圓，故 p 之原像乃是由一族圓所組成，其因一關於圓 p 的參數而變。因此它是 S3 內的一個曲面。一如往常地，在影片中它被球極投影到了三維空間內。

當一緯線非常地靠近 S2 的一個極點（而因此是一個很小的圓）時，p 的原像將會呈一細小管狀，緊臨著該極點上的纖維。當該緯線漸漸地變大，直到變成赤道，接著又漸漸變小，向另一個極點靠近時，管子就會跟著漸漸變大，然後再 變小，而在最後又變成細管狀。這些管子是 S3 內的環面，不過，我們只能觀察它們於三維空間中的投影，所以它們在靠近 S3 的北極點處時看起來並不是非常地完美無暇。
請 按上圖觀賞影片。

嚴格來說，一個環面是一個空間中的迴轉曲面，由將一圓繞行與其共面之軸線而得來。環面上面的一點有兩個角座 標：一個是用來描述在圓上的位置，而另一個則是用來描述此圓被旋轉的角度大小。

這與經緯之概念的相似處是值得注意的。居住在環面上（而非球面，如我們的地球）的生物也會發明出經線、緯線、 經度、緯度的概念。

事實上，拓撲學家們常稱一「環面」為一與迴轉環面「同胚」的曲面，例如：一個咖啡杯！當他們所指的是由迴轉一 個圓而得來的環面時，他們會說迴轉環面(torus of revolution)，以避免混淆。

我們可以在一個迴轉環面上清楚地看到兩族圓：一族經線（藍）與一族緯線（紅）。在這個情況下，要區分經緯會比 較困難一點。在球面上，這很容易：所有的經線皆通過兩個極點，但是，迴轉環面上是沒有極點的！於是，我們約定（但這只是一個習慣）將藍色的圓都稱為「經 線」，因為它們處於的平面都含有迴轉環面之對稱軸，而紅色的圓則為「緯線」，因為它們處於的平面皆與該軸垂直。

一個令人驚奇幾何事實是：在迴轉環面上還有可能找的出許多其它圓…& hellip;本章解釋了如何作出這些圓。

回想一下描述 Hopf 纖維叢的公式。從複數座標而言，它將 (z1,z2) 送到可被視為是 S2 內的一點 a。在 S2 內定一條緯線 p，就等同於定一複數之模，故一條緯線的原像可被型如下 的公式所描述：

|z2/z1| = 常數。

例如，可取該常數值為1，使 z1 與 z2 有同樣的模。但別忘了

|z1|2 + |z2|2 = 1，

故 z1 和 z2 的模皆等於√2/2。因此，此緯線之原像集包含了點 (z1,z2)， 其中 z1 和 z2 皆為在半徑為√2/2、以原點為圓心的圓上之動點。故，由此可見，緯線的原像就是一個曲面，其可被兩個角度所參數化：因此，就如同影 片中所見，它是一個環面。若令 z1 為定值，則可得到 S3 內之一圓，而若是令 z2 為定值，則可得到另一個圓。不過，目前對於四維迴轉環面而言，我們無法說出哪一個圓是緯線、哪一個是經線。

將該環面由北極（其座標為(0,1)）球極投影至三維空間內之時，我們不難看出：該環面之投影不單只是與一環 面同胚而已，它還其實根本就是一個迴轉環面。繞著哪個軸迴轉呢？即通過北極點的 Hopf 圓的球極投影：這個投影無疑是一條直線！所以，我們能知道該如何把迴轉環面想成是一條緯線在 Hopf 映射下的原像了。

一個由這種解釋衍生的結果是：對於該選定緯線上之每一點而言，相對應到的 Hopf 圓很明顯地是被包含在此迴轉環面內的。我們剛發現了迴轉環面內的其它圓……。

於下列出幾個公式。考慮空間內一由從北極點(0,1)投影

|z1| = √2/2 ； |z2| = √2/2

而生成的迴轉環面。

我們接著考慮將 (z1,z2) 送到 (ω.z1,z2) 的映射，其中 ω 描述了所有模皆為1的複數所形成之圓。因 z1 和 z2 之模並不會變動，故這些映射將保有 S3 球面。型如 (0,z2) 之點亦不會改變。我們正在討論的就是於四維空間中繞著複直線 z1=0 的旋轉變換。因為該直線通過了投影極點(0,1)，所以它的球極投影並不會是一個圓，而是一條直線。因此，這些與 ω 參數相關之映射就定義了在我們的空間中繞行著一條直線的旋轉變換。而由於這些旋轉變換亦保留了我們目前正在考慮的迴轉環面，所以 z1=0 就是這個環面的對稱軸！

如此一來，通過 (z1,z2) 的緯線就是型如 (ω.z1, z2) 的點之集合，其中，ω 屬於所有模為1的複數組成之圓。通過 (z1,z2) 的經線則是型如 (z1, ω.z2)的點之集合。

通過 (z1,z2) 的 Hopf 圓是型如 (ω.z1, ω.z2) 的點之集合（請注意：若將 z1 與 z2 同乘以 ω， 則 z2/z1 將仍不變，因此所有的這類點在 f 下的像皆相同；它們都屬同一纖維）。還沒完；過每一點 (z1,z2)， 我們還可以考慮「對稱」的圓，其乃是由型如 (ω.z1, ω-1.z2) 的點所組成。這給出了迴轉環面上的第四個圓。

我們剛才證明了：對一迴轉環面上之每一點，我們都可以畫出四個通過該點之圓：一條經線、一 條緯線、一個 Hopf 圓、以及一個對稱於 Hopf 圓的圓。

這項事實在很久以前就已經被發現了。這些圓通常被稱為 Villarceau 圓，以紀念一位十九世紀的數學家。但讀者應早就瞭解到：在數學中，創造與內化的過程是如此地漫長且複雜，因此，一個定理很少是實由其名而來的。所言不假， 史特拉斯堡大教堂(Cathedral of Strasbourg)博物館之一階梯（其歷史可追溯至十六世紀）便告訴了我們：雕刻家們不需要等到 Villarceau 的發現才開始在環面上雕刻圓形！

本章第二部份採用了不依賴 Hopf 纖維叢的一個方法來描繪出 Villarceau 圓。從一個迴轉環面開始，我們用一個雙切平面把它剖開來，然後觀察其截面。該截面含有兩個圓。

怎麼證明這項事實呢？我們可以列出方程式，然後計算（參見 此處）……但是，呃，這並不是非常 地具有啟發性。不過，藉由代數幾何中的幾個概念，如「圓點(cyclic points)」，我們就可以用一個非常出色的方法，在幾乎不用計算的情況下證明出該定理。這些點不只是無窮遠點，還是虛點！由此可見，想像力是無邊無際 的！欲閱讀利用了這類構想的 Villarceau 定理之證明，請參見 此 篇文章。

給定一三維空間中之曲面，則我們可將其視為一在 S3 空間內（在添上一無窮遠點之後）的曲面。因 S3 乃四維空間內的單位球面，故我們可以先利用四維旋轉變換使其旋轉，然後再一次地將其球極投影至三維空間中！這樣我們就會得到另一個曲面。這個曲面與它原來 的樣子相類似，但是並不一樣！若從一迴轉環面開始操作，則我們會得到的曲面就是所謂的 Dupin 四次圓紋曲面。這種曲面於十九世紀時期被廣泛地研究過。因球極投影把不通過極點的圓變換為圓，故迴轉環面上之四族圓的存在性就意味 著：在四次圓紋曲面上亦存在著四族圓……

因此，三維空間中一環面即可被想成是四維空間內可旋轉的 S3 內之一曲面。若藉由球極投影法輔助觀察之，則我們就可以看到一段 Dupin 四次圓紋曲面正在變形的畫面。一旦當該曲面通過了投影極點時，我們就會發現它會膨脹至無限大，而接著又再次變回原樣。不過，這時您會發現：它的經緯線已經 被互相對調，而一整個環面則是已經被從裡面翻到外面去了！
請按上圖觀賞影 片。

空間內的圓之幾何是非常美麗的。有時候它亦名保反(anallagmatic)幾 何。關於這門學問，我們有一籮筐的事情可以講！


五、Hopf 與同倫

在影片中，我們不幸地並無提及 Hopf 之動機。我們在此對其做出一些簡短的討論，以做為本文結尾。

在拓撲學中，我們經常考慮兩 拓撲空間 X 與 Y 之間的映射。我們不在這裡給出定義，不過，您可以把 X 和 Y 分別想成是（舉例而言）n 維和 p 維的球面。當然了，至此我們只有討論過零、一、二與三維的球面，不過，您應該早就料到了故事並不會就到此結束…& hellip;當然，研究完全沒有任何限制條件的映射並不會引起太大的興趣，所以，我們將只專心討論連續映射(continuous maps)，即所有滿足當 x 的變動量足夠小時，點 f(x) 並不會作出劇烈變動的映射。例如：對一實數 x，若 x 非 0，則將其送至 +1，而若 x 為 0，則將其送至 -1 的映射並不是連續的，因為它在我們經過 0 的時後「跳」了一下。但是，將 x 值送至其平方值 x2 的映射就是連續的；若我們稍微地變動一數，則其平方值只會稍加改變。拓撲學中的其中一個基本問題涵括了對於拓撲空間（如球面）之間的連續映射之探討。

拓撲學其實簡單多了：它以瞭解 同 倫(homotopies) 為目標。又是一個代表著很簡單的事物的複雜名詞！假設今給定兩個由 Sn 球面到 Sp 球面的連續映射 f0 與 f1。如果我們可 以把 f0 形變為 f1， 則我們就稱 f1 與 f0 是同 倫的。換言之，這代表著：存在一族與一參數 t（其 取值範圍在0與1之間）相關之映射 ft， 將 f0 與 f1 連結起來。更確切地說，這表示 Sn 內的每一點 x 和每一個介於0與1之間 t 值皆可以與一點 ft(x) 相配，定義出一個 x 和 t 的連續映射，使得當 t=0 時，我們便可得到 f0， 而當 t=1 時，我們即可得到 f1。

舉例而言：一映射 f : S1→ S2 只不過是一個二維球面上的一條封閉曲線而已。例如，f0 可以是一個把 S1 上所有點 x 都送到北極點的一個映射：這就是所謂的常 值映射(constant map)。而 f1 則可以是將 S1 圓送至 S2 上之赤道的映射。若此二映射是同倫映射，則這就代表著我們可以把赤道漸漸的形變成北極點，如右圖。事實上，這總是有可能的；每一對由 S1 到 S2 的映射都是同倫的。拓撲學家們這麼說：所有 S2 上面可畫出的曲線皆與常值曲線同倫，或是，S2 是單連通(simply connected)的。應該不難說服自己：對於所有維數大於等於二的 Sp 球面，上述仍成立。（亦請參考 這頁）


S1 與 S1 之間的一個映射就等效於將圓上的一點變換為圓上的另一點：某種程度上，這就是圓上的一條曲線。這種映射有一個度數(degree)： 即該映射所繞行的完整圈數。例，常值映射完全不會繞行：它的度數是0。將每一點送至自身之處的恆等映射(identity map)理所當然地是繞行了一周；它的度數是1。把任何模為1的複數都送至其平方的映射將把幅角乘以二。故，若繞行圓一周，則平方映射就會繞行兩圈：它的 度數是2。當一映射受到形變時，它的度數並不會改變，因此，在所有由 S1 到 S1 的 映射中，存在著無法被形變為常值映射的映射……要看得出兩個度數相同的映射是可以各自形變成對方的，則稍 加困難。

但是 S2 與 S2 之間的映射又是如何呢？與 S1 到 S1 的情況相似地，我們亦可定義出一個度數，即使問題已不再是要數出「圈數」了：現在問題在於要數出 f 之像「覆蓋」球面的次數多寡，而這並不容易定義。最簡單的例子是恆等映射：任一點皆被該映射送至原處：它的度數是1。我們可猜想：S2 上的恆等映射，是無法在不把球扯斷的情形下，被形變成常值映射的。但是還是要有辦法證明才行！

Heinz Hopf 在1931年時證明了這個驚人的事實：某些由 S3 到 S2 的映射是不能被連續形變成常值映射的。當然，他舉出的例子就是我們才剛認識的纖維叢。漸漸地，這個物件就在數學還有物理中開始扮演起非常重要的角色。

每對纖維都是互相鏈結在一起的特質就是使得 Hopf 映射 f : S3→ S2 無法被形變為一常值映射的關鍵。要給出一個具有說服力的理由還需要一個頗為冗長的解釋！這本書 裡給出了一個完整卻艱澀的闡述，或可於 Hopf 的 原版論文 中找到一個證明，與其它許多細節。

對於 Sn 與 Sp 之間的映射，其中 n 與 p 皆取任意值，我們又有何瞭解呢？已有很多事實被發現，但我們與達全盤瞭解的距離還很長：「球面間的映射之同倫類(homotopy classes)」仍然是一個大謎題！

「纖維叢」只是 Heinz Hopf 做出的貢獻的其中之一而已。他對於二十世紀時期的數學有著深遠的影響。
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