第七、八章：纤维丛

一、Heinz Hopf 与拓扑学

拓扑学 乃研究形变之学门。举例而言，在右边看到的杯子和轮胎是截然不同的两样物体，但是其中一样东西可以透过连续形变，在不弄断任何一处的情况下，变成另外一 样；数学家们说杯子与轮胎是同胚(homeomorphic)的。 而拓扑学家就是一群分不清楚他们的咖啡杯和甜甜圈的人！！
同样地，这门理论亦经过了很长一段时间才成为一支完全独立、拥有着自己的（通常是性质上的）问题和原创方法的学科。Henri Poincaré 常被认为是为拓扑学（他称其为analysis situs）扎下了稳固根基的数学家，虽然在他之前已有许多 极具名望的前辈，如 Euler、Riemann、Listing 或 Tait。

二、C² 內的 S³ 球面

我們已經知道，四維空間內的單位 S³ 球面即為距原點一單位長度的點之集合。若設此空間內四個實座標為 x₁、y₁、x₂、y₂， 則這個球面方程就是：

但我們可以把 (x₁,y₁) 想成是一個複數 z₁ = x₁+iy₁，而 (x₂,y₂) 則為複數 z₂ = x₂+iy₂。 而 S³ 球面就可以被想成是一個複數對 (z₁,z₂) 之集，使得

换言之，S3 球面可被视为复二维平面内一单位圆。类推而言（但仅止于类推而言），我们就可以把 S3 球面画成是平面上的一个圆，但请切记：这是一个复平面，而 z1 与 z2 皆为复数。如，轴线 z2=0 就是一条复直线，即一实平面，而它与 S3 球面相交于皆满足 |z1|2 = 1 的点 (z1,0) ，或换言之，皆在 S1 圆上的点。对于轴线 z1=0 与所有型如 z2= a.z1（其 中 a 为一复数）的过原点直线而言，上述依然成立。因此，每一个复数 a 都定义了一条复直线 z2= a.z1，其交 S3 球面于一圆。故每个复数 a 皆对应到 S3 球面上的一个圆。此外，虽然轴线方程 z1=0 型非如此，它仍可被视为是对应到了无限的 a 值之情况（垂直的轴线不就是一条有着无限斜率的直线吗？）。

回想：若设 X 与 Y 为两集合，则一个由 X 到 Y 的一个映射(map) f，又常记为 f : X → Y，就是一条可让我们将 X 内之点 x 和 Y 内之点 f(x) 之间建立关系的规则。

例：考虑 Hopf 映射 f : S3 → S2。它建立了一点 (z1,z2) 与点 z2/z1 之间的关系。

关于这点有两个解释：

第一，S3 上的一点就是二维复平面上的一点，而可以被其复坐标 (z1,z2) 所描述。

对于 S2 上每一点 a，于 S3 内使得在 f 下的像(image)为 a 的点集（即 a 之原像［pre-image］），是 S3 内的一个圆。我们称此点集为 a 上的纤 维(fiber)。这与上述解释之关联就是：所有在一条线 z2= a.z1上的点皆使得 z2/z1 为常量（这很明显，因为它根本就等于 a ！）。

三、纤维丛

影片先请我们仔细观察这个「纤维丛」。每个 a 值皆对应到一在 S3 内之圆。我们要怎么将其加以具象化呢？当然是靠球极投影法了！我们由 S3 投影至接于投影极点对面的极点之三维切空间上。此投影是空间内的一个圆。您可以好好地欣赏它（别忘了那些蜥蜴！）。当然，这个 S3 上的圆有可能正经过北极点，因而造成其球极投影呈一直线（即少了一个点的圆……那个点已经跑到无穷远处 了！）。

几个序列阐明了此纤维丛：
首先，我们只看到一个 Hopf 圆。它与 a 值相对应。这个点 a 在 S2 上移动（请记得：它是一个加上了一无穷远点的复平面），而我们就看到此圆在空间中移动，不时地当在 a 通过无穷远点时变成一直线。
然后，我们看到了两个正同时移动的 Hopf 圆。它们与两个 a 值相对应。您可以在屏幕底部看到两个正在移动的 a 点，而此二圆也同时跟着移动。顺便一提，请注意：这两个圆是像铁链般地互相链结在一起的。我们不能在不扯断它们的情况下将它们分开。

最后，我们同时看到了一大堆 Hopf 圆。a 值被随机地选定而出，而相对应的圆就陆续跟着出现。我们就可以「看」到空间中充满了圆，而这些圆并不相交。我们也终于可以了解「纤维丛」这个词的来源了： 所有的圆都互相交织在一起，就像是织物的纤维一般：由局部上看来，它们整齐的像一束面条。当初以 Hopf 映射为原形发展而成的纤维丛之概念，已成为了拓扑学与数理物理(mathematical physics)中的一个核心概念。有些纤维丛更为复杂，存在于更高维的空间之中，但对这个历史性的例子能有一个清楚的观念无疑是深具启发意义的！

四、纤维丛（续）

为了更透彻地理解 Hopf 纤维丛 f : S3 → S2，考虑 S2 内一条纬线 p，以及 p 在 f 下的「原像」，即于 S3 内满足在 f 下之像是属于 p 的点集。由于 S2 内各点的原像（各纤维）皆为一 Hopf 圆，而又由于一条纬线也同时是一个圆，故 p 之原像乃是由一族圆所组成，其因一关于圆 p 的参数而变。因此它是 S3 内的一个曲面。一如往常地，在影片中它被球极投影到了三维空间内。

严格来说，一个环面是一个空间中的回转曲面，由将一圆绕行与其共面之轴线而得来。环面上面的一点有两个角坐 标：一个是用来描述在圆上的位置，而另一个则是用来描述此圆被旋转的角度大小。

事实上，拓扑学家们常称一「环面」为一与回转环面「同胚」的曲面，例如：一个咖啡杯！当他们所指的是由回转一 个圆而得来的环面时，他们会说回转环面(torus of revolution)， 以避免混淆。
我们可以在一个回转环面上清楚地看到两族圆：一族经线（蓝）与一族纬线（红）。在这个情况下，要区分经纬会比较困难一点。在球面上，这很容易：所有的经线 皆通过两个极点，但是，回转环面上是没有极点的！于是，我们约定（但这只是一个习惯）将蓝色的圆都称为「经线」，因为它们处于的平面都含有回转环面之对称 轴，而红色的圆则为「纬线」，因为它们处于的平面皆与该轴垂直。

回想一下描述 Hopf 纤维丛的公式。从复数坐标而言，它将 (z1,z2) 送到可被视为是 S2 内的一点 a。 在 S2 内定一条纬线 p， 就等同于定一复数之模，故一条纬线的原像可被型如下的公式所描述：
|z2/z1| = 常 数。
例如，可取该常数值为1，使 z1 与 z2 有同样的模。但别忘了
|z1|2 + |z2|2 = 1，
故 z1 和 z2 的模皆等于√2/2。因此，此纬线之原像集包含了点 (z1,z2)， 其中 z1和 z2 皆为在半径为√2/2、以原点为圆心的圆上之动点。故，由此可见，纬线的原像就是一个曲面，其可被两个角度所参数化：因此，就如同影 片中所见，它是一个环面。若令 z1 为定值，则可得到 S3 内之一圆，而若是令 z2 为定值，则可得到另一个圆。不过，目前对于四维回转环面而言，我们无法说出哪一个圆是纬线、哪一个是经线。
将该环面由北极（其坐标为(0,1)）球极投影至三维空间内之时，我们不难看出：该环面之投影不单只是与一环面同胚而已，它还其实根本就是一个回转环面。 绕着哪个轴回转呢？即通过北极点的 Hopf 圆的球极投影：这个投影无疑是一条直线！所以，我们能知道该如何把回转环面想成是一条纬线在 Hopf 映射下的原像了。
一个由这种解释衍生的结果是：对于该选定纬线上之每一点而言，相对应到的 Hopf 圆很明显地是被包含在此回转环面内的。我们刚发现了回转环面内的其它圆……。
于下列出几个公式。考虑空间内一由从北极点(0,1)投影
|z1| = √2/2； |z2| = √2/2
而生成的回转环面。

如此一来，通过 (z1,z2) 的纬线就是型如 (ω.z1, z2) 的点之集合，其中，ω 属于所有模为1的复数组成之圆。通过 (z1,z2) 的经线则是型如 (z1, ω.z2)的点之集合。
通过 (z1,z2)的 Hopf 圆是型如 (ω.z1, ω.z2) 的点之集合（请注意：若将 z1 与 z2 同乘以 ω，则 z2/z1将 仍不变，因此所有的这类点在 f 下的像皆相同；它们都属同一纤维）。还没完；过每一点 (z1,z2)， 我们还可以考虑「对称」的圆，其乃是由型如 (ω.z1, ω-1.z2) 的点所组成。这给出了回转环面上的第四个圆。

这项事实在很久以前就已经被发现了。这些圆通常被称为 Villarceau 圆，以纪念一位十九世纪的数学家。但读者应早就了解到：在数学中，创造与内化的过程是如此地漫长且复杂，因此，一个定理很少是实由其名而来的。所言不假， 史特拉斯堡大教堂(Cathedral of Strasbourg)博物馆之一阶梯（其历史可追溯至十六世纪）便告诉了我们：雕刻家们不需要等到 Villarceau 的发现才开始在环面上雕刻圆形！

本章第二部份采用了不依赖 Hopf 纤维丛的一个方法来描绘出 Villarceau 圆。从一个回转环面开始，我们用一个双切平面把它剖开来，然后观察其截面。该截面含有两个圆。

给定一三维空间中之曲面，则我们可将其视为一在 S3 空间内（在添上一无穷远点之后）的曲面。因 S3 乃四维空间内的单位球面，故我们可以先利用四维旋转变换使其旋转，然后再一次地将其球极投影至三维空间中！这样我们就会得到另一个曲面。这个曲面与它原来 的样子相类似，但是并不一样！若从一回转环面开始操作，则我们会得到的曲面就是所谓的 Dupin 四次圆纹曲面。这种曲面于十九世纪时期被广泛地研究过。因球极投影把不通过极点的圆变换为圆，故回转环面上之四族圆的存在性就意味 着：在四次圆纹曲面上亦存在着四族圆……

空间内的圆之几何是非常美丽的。有时候它亦名保反(anallagmatic)几 何。关于这门学问，我们有一箩筐的事情可以讲！

五、Hopf 与同伦

在影片中，我们不幸地并无提及 Hopf 之动机。我们在此对其做出一些简短的讨论，以做为本文结尾。
在拓扑学中，我们经常考虑两 拓扑空间 X 与 Y 之间的映射。我们不在这里给出定义，不过，您可以把 X 和 Y 分别想成是（举例而言）n 维和 p 维的球面。当然了，至此我们只有讨论过零、一、二与三维的球面，不过，您应该早就料到了故事并不会就到此结束…& hellip;当然，研究完全没有任何限制条件的映像并不会引起太大的兴趣，所以，我们将只专心讨论连续映像(continuous maps)，即所有满足当 x 的变动量足够小时，点 f(x) 并不会作出剧烈变动的映射。例如：对一实数 x， 若 x 非 0，则将其送至 +1，而若 x 为 0，则将其送至 -1 的映像并不是连续的，因为它在我们经过 0 的时后「跳」了一下。但是，将 x 值送至其平方值 x2 的映射就是连续的；若我们稍微地变动一数，则其平方值只会稍加改变。拓扑学中的其中一个基本问题涵括了对于拓扑空间（如球面）之间的连续映射之探讨。

举例而言：一映射 f : S1→ S2 只不过是一个二维球面上的一条封闭曲线而已。例如，f0 可以是一个把 S1 上所有点 x 都送到北极点的一个映射：这就是所谓的常值映射(constant map)。 而 f1 则可以是将 S1 圆送至 S2 上之赤道的映射。若此二映射是同伦映射，则这就代表着我们可以把赤道渐渐的形变成北极点，如右图。事实上，这总是有可能的；每一对由 S1 到 S2 的映射都是同伦的。拓扑学家们这么说：所有 S2 上面可画出的曲线皆与常值曲线同伦，或是，S2 是单连通(simply connected)的。应该不难说服 自己：对于所有维数大于等于二的 Sp 球面，上述仍成立。（亦请参考 这页）

S1 与 S1 之间的一个映射就等效于将圆上的一点变换为圆上的另一点：某种程度上，这就是圆上的一条曲线。这种映射有一个度数(degree)： 即该映像所绕行的完整圈数。例，常值映射完全不会绕行：它的度数是0。将每一点送至自身之处的恒等映射(identity map)理所当然地是绕行了一周；它的度数是1。把任何模为1的复数都送至其平方的映射将把幅角乘以二。故，若绕行圆一周，则平方映射就会绕行两圈：它的 度数是2。当一映像受到形变时，它的度数并不会改变，因此，在所有由 S1 到 S1 的映像中，存在着无法被形变为常值映射的映射……要看得出两个度数相同的映射是可以各自形变成对方的，则稍 加困难。

但是 S2 与 S2 之间的映射又是如何呢？与 S1 到 S1 的情况相似地，我们亦可定义出一个度数，即使问题已不再是要数出「圈数」了：现在问题在于要数出 f 之像「覆盖」球面的次数多寡，而这并不容易定义。最简单的例子是恒等映射：任一点皆被该映射送至原处：它的度数是1。我们可猜想：S2 上的恒等映射，是无法在不把球扯断的情形下，被形变成常值映射的。但是还是要有办法证明才行！
Heinz Hopf 在1931年时证明了这个惊人的事实：某些由 S3 到 S2 的映射是不能被连续形变成常值映射的。当然，他举出的例子就是我们才刚认识的纤维丛。渐渐地，这个对象就在数学还有物理中开始扮演起非常重要的角色。

对于 Sn 与 Sp 之间的映射，其中 n 与 p 皆取任意值，我们又有何了解呢？已有很多事实被发现，但我们与达全盘了解的距离还很长：「球面间的映射之同伦类(homotopy classes)」仍然是一个大谜题！