Hoofdstukken 7 en 8 : De vezeling 

Wiskundige Heinz Hopf beschrijft zijn "vezeling". Dank zij complexe getallen kan hij prachtige groepen cirkels tekenen in de ruimte..

1. Heinz Hopf en de topologie

De topologie is de wetenschap die vervormingen bestudeert. Bijvoorbeeld de tas en de binnenband hier rechts zijn natuurlijk twee verschillende voorwerpen, maar men kan overgaan van het ene naar het andere door een continue vervorming die geen enkele scheur doet ontstaan: de wiskundige zegt dat de tas en de binnenband homeomorf zijn (zelfde vorm) ). En een topoloog, dat is iemand die het verschil niet kent tussen een tas koffie en een doughnut!

Ook hier heeft de theorie er zeer lang over gedaan om het statuut te krijgen van een autonome discipline, met haar eigen problematiek, en originele methodes die dikwijls kwalitatief van aard zijn. Er waren prestigieuze voorlopers (zoals Euler, Riemann, Listing of Tait), maar men beschouwt toch Henri Poincaré als de grondlegger van de topologie (die hij analysis situs noemde).

Heinz Hopf (1894-1971), onze presentator, is een van de merkwaardigste voortzetters van de theorie in de eerste helft van de twintigste eeuw.

2. De sfeer S³ in C²

We hebben gezien dat de sfeer S³ met straal 1 in de ruimte van dimensie 4 de verzameling is van punten is die op afstand 1 liggen van de oorsprong. Als we vier reële coordinaten x₁,y₁,x₂,y₂ nemen in deze ruimte, dan is de vergelijking voor deze sfeer:

Maar men kan (x₁,y₁) ook beschouwen als een complex getal z₁ = x₁+i y₁ en (x₂,y₂) als een complex getal z₂ = x₂+i y₂ , en de sfeer S³ kan dan beschouwd worden als de verzameling van de koppels complexe getallen (z₁,z₂) zodanig dat

Anders gezegd, de sfeer S³ kan beschouwd worden als de eenheidssfeer in het vlak van complexe dimensie 2. Men kan de sfeer S³ dus voorstellen als een cirkel in het vlak, maar dit is enkel een symbolische voorstelling want het is een complex vlak, en elk van zijn coordinaten z₁ en z₂ is een complex getal. De as z₂=0 bijvoorbeeld is een complexe rechte, dus een reëel vlak, en die as ontmoet de sfeer S³ op de verzameling van punten (z₁,0) zodanig dat |z₁|² = 1, wat een S¹ cirkel is. Hetzelfde is waar voor de as z₁=0 maar ook voor alle rechten die door de oorsprong gaan, en waarvan de vergelijking z₂= a.z₁ is, met a een complex getal. Elk complex getal a definieert dus een complexe rechte z₂= a.z₁ die de sfeer S³ snijdt op een cirkel. We hebben dus een cirkel in S³ voor elk complex getal a. De as z₁=0 heeft zo geen vergelijking, maar men kan zeggen dat dit overeenkomt met het geval waar a oneindig groot is (de helling van de verticale as is oneindig).

De sfeer S³ is dus gevuld met cirkels, één voor elk punt van S², dus voor elk complex getal a (dat oneindig mag zijn). Twee van die cirkels, dus voor twee verschillende waarden van a, komen niet met elkaar in contact. Men noemt de ontbinding van de sfeer van dimensie 3 in cirkels de vezeling van Hopf.

Als X en Y twee verzamelingen zijn dan is een functie f van X naar Y, dikwijls genoteerd als f : X →  Y, een regel die toelaat om aan elk punt x van X een punt f(x) van Y te associëren.
De functie van Hopf f : S³ → S² associeert (z₁,z₂) van S³ aan het punt z₂/z₁ van S².

Dit verdient twee verklaringen:

Vooreerst, een punt van S³ is een punt van het vlak van complexe dimensie 2 en kan beschreven worden door zijn complexe coordinaten (z₁,z₂). 

Verder hebben we gezien dat men de sfeer S² bekomt als men via de stereografische projectie een punt op oneindig toevoegt aan het vlak. Het complex getal z₂/z₁ is enkel gedefiniëerd als z₁ niet gelijk is aan nul, maar als dat wel het geval is zegt men dat z₂/z₁ het punt op oneindig is.

De verzameling punten van S³ waarvan het beeld door f het punt a is noemt men de vezel  boven a. Deze verzameling punten is in dit geval een cirkel in S³.  Het verband met de vorige uitleg is dat voor alle punten van een rechte z₂= a.z₁ het zo is dat z₂/z₁ constant is (want de verhouding is natuurlijk gelijk aan a !).

3. De vezeling

In de film zien we eerst de "vezeling" van dichtbij. Voor elke a hebben we een cirkel in S³. Hoe kunnen we die zien? We gebruiken natuurlijk opnieuw de stereografische projectie! De sfeer S³ wordt geprojecteerd op de ruimte van dimensie 3 die raakt aan de pool die diametraal tegenover de projectiepool staat. Die projectie is een cirkel die U kan bewonderen (herinner U de hagedissen!). Het kan natuurlijk gebeuren dat de cirkel van S³ door de projectiepool gaat, zodat de geprojecteerde cirkel een rechte wordt. (dus een cirkel door een punt op oneindig).

De vezeling wordt verder geïllustreerd :

Eerst toont men één enkele cirkel van Hopf die geassocieerd is aan een waarde van a. Dit punt a verplaatst zich op de sfeer S² (herinner U, de complexe rechte plus een punt op oneindig) en men ziet de cirkel die zich verplaatst in de ruimte, en die nu en dan een rechte wordt als a door het punt op oneindig gaat.

Daarna toont men twee cirkels van Hopf, geassocieerd met twee waarden van a. Onderaan het scherm ziet men die twee punten a die zich verplaatsen, en men ziet tegelijk de bijbehorende cirkels. Men merkt nu op dat de twee cirkels verbonden zijn als twee schakels van een ketting. Men kan ze niet scheiden zonder ze te breken.

Daarna zien we drie cirkels, met drie waarden van a, die een choreografie opvoeren...

Tenslotte toont men veel cirkels van Hopf tegelijkertijd. Men neemt willekeurige waarden voor a en men tekent de bijbehorende cirkels. Zo kan men "zien" dat de ruimte opgevuld wordt met cirkels, en dat die cirkels niet met mekaar in contact zijn. Maar men begrijpt ook beter waar het woord "vezeling" vandaan komt: de cirkels zijn gerangschikt zoals de vezels van een weefsel, en plaatselijk zijn ze mooi gerangschikt zoals een pak spaghetti. Dit concept van vezeling, waarvan de functie van Hopf het prototype is, staat centraal in de topologie en in de wiskundige fysica. Sommige vezelingen zijn heel wat ingewikkelder, maar het is nuttig om aan de hand van dit historisch voorbeeld er een klare kijk op te hebben!

Een vlak beschouwen als een complexe rechte is nuttig, maar de ruimte van dimensie 4 beschouwen als een vlak van complexe dimensie 2 is nog nuttiger!

4. De vezeling ... vervolg

Zie in de film: Hoofdstuk 8 : Vezeling, vervolg.

Om de vezeling van Hopf f : S³ → S² beter te begrijpen kan men kijken naar een breedtelijn p in S² en zien wat het inverse beeld is van p door f, dus de verzameling punten van S³ waarvan het beeld door f in p ligt. Het inverse beeld van elk punt van S² (elke vezel) is een cirkel van Hopf. Het invers beeld van p is daarom een familie cirkels : een cirkel voor elk punt van p.  Dit is dus een oppervlak in S³ en de film toont zoals gewoonlijk de stereografische projectie ervan in de ruimte van dimensie 3.

Als de breedtecirkel dicht bij een pool van S² ligt, en dus een zeer kleine cirkel is, dan is het invers beeld van p een oppervlak dat dichtbij de vezel ligt boven die pool. Als de breedtecirkel zich van de pool verwijderd, en dus groter wordt, de evenaar overschrijdt en daarna terug kleiner wordt, dan wordt het bijbehorende oppervlak steeds groter, om, voorbij de evenaar, terug kleiner te worden, en voor een breedtecirkel nabij de andere pool opnieuw vlakbij de vezel van die pool te liggen. Deze oppervlakken zijn tori in S³ maar daar we ze zien via een stereografische projectie zien ze er veel groter uit naarmate ze dichter bij de projectiepool op de sfeer S³ liggen. 

Topologen noemen een oppervlak dat "homeomorf" is aan een rotatietorus, zoals een koffietas, ook dikwijls een "torus"!  Als ze het specifiek hebben over een torus die men bekomt door een cirkel te laten draaien, dan spreken ze van een rotatietorus.

Op een rotatietorus ziet men duidelijk twee families van cirkels: breedtecirkels (in het rood) en lengtecirkels (in het blauw). Het is nu iets moeilijker om de breedtecirkels te onderscheiden van de lengtecirkels. Bij een sfeer was dat gemakkelijk: al de lengtecirkels gaan door de polen, maar op een rotatietorus zijn er geen polen!  Men komt overeen ( maar dat is maar een conventie) om de blauwe cirkels lengtecirkels te noemen omdat ze in vlakken liggen die door de symmetrie as gaan, en de rode cirkels breedtecirkels, omdat ze in vlakken liggen die loodrecht staan op die as.

Een klein wonder van de meetkunde maakt dat men op een dergelijke torus nog veel meer cirkels kan tekenen. In dit hoofdstuk wordt uitgelegd hoe dat kan.

We nemen opnieuw de formule die de Hopf vezeling beschrijft. In complexe coordinaten stuurt ze (z₁,z₂) op een punt a dat beschouwd wordt als een punt van S². Als we een breedtecirkel p kiezen in S², dan leggen we de module van een complex getal vast, zodat het invers beeld van een breedtecirkel beschreven wordt door een vergelijking van de vorm:

Laten we bijvoorbeeld 1 kiezen voor deze constante, zodat z₁ en z₂ dezelfde module hebben. Maar laat ons niet vergeten dat

zodat de modules van z₁ en van z₂ beide gelijk zijn aan √2/2. Het invers beeld van deze breedtecirkel bestaat dus uit de paren (z₁,z₂) waarbij z₁ en z₂ willekeurig gekozen worden op een cirkel gecentreerd in de oorsprong, en met straal √2/2. Het oppervlak dat het invers beeld is van een breedtecirkel kan dus beschreven worden door twee parameters die beide hoeken zijn. Zoals we in de film kunnen zien is dat dus een torus. Als we z₁  constant houden, dan krijgen we een cirkel in S³ , en als z₂ constant houden krijgen we een andere cirkel, maar in dimensie 4 is het nogal moeilijk te zeggen welke van de twee een lengtecirkel, en welke een breedtecirkel is.

Als we dan die torus stereografisch projecteren vanaf de noordpool (met coordinaten (0,1)) in de ruimte van dimensie 3, dan is het niet moeilijk om vast te stellen dat de projectie van die torus niet alleen homeomorf is aan een torus, maar dat het wel degelijk een rotatietorus is. Rond welke rotatieas? Eenvoudigweg rond de cirkel van Hopf die door de noordpool gaat, en de projectie daarvan is een rechte! Zo zien we dus hoe een rotatietorus kan beschouwd worden als het inverse beeld van een breedtecirkel van S² door de functie van Hopf.

Een gevolg van die interpretatie is nog: voor elk punt op de breedtecirkel ligt de bijbehorende cirkel van Hopf op de rotatietorus. Zo vinden we dus bijkomende cirkels op de rotatietorus.

Ziehier enkele formules. We beschouwen dus de rotatietorus die we bekomen door

te projecteren vanaf de noordpool (0,1).

Dan bekijken we de functies die (z₁,z₂) naar (ω.z₁,z₂) sturen, waarbij ω de cirkel beschrijft van de complexe getallen met module gelijk aan 1. Daarbij veranderen de modules van z₁ en van z₂ niet, zodat (ω.z₁,z₂) ook op S³ ligt.
Door die functies veranderen ook punten van de vorm (0,z₂). niet. We spreken met andere woorden over rotaties in de ruimte van dimensie 4 "rond" de complexe rechte met vergelijking z₁=0. Deze rechte gaat door de projectiepool (0,1), en de sterografische projectie daarvan is dus geen cirkel, maar een rechte. Via stereografische projectie definieren deze functies, die afhangen van de parameter ω niets anders dan rotaties van onze ruimte rond een rechte. Die transformaties wijzigen de rotatietorus niet zodat de rechte z₁=0 overeenkomt met de rotatieas van de torus! 

Bijgevolg is de breedtecirkel door (z₁,z₂) de verzameling van punten van de vorm (ω.z₁, z₂) waarbij ω de cirkel beschrijft van complexe getallen met module gelijk aan 1. Men ziet dan ook dat de lengtecirkel door (z₁,z₂) de verzameling punten is van de vorm (z₁, ω.z₂).

De cirkel van Hopf door (z₁,z₂) is de verzameling punten van de vorm (ω.z₁, ω.z₁) (noteer dat, als men z₁ en z₂ vermenigvuldigt met ω, z₂/z₁ niet verandert, zodat al die punten hetzelfde beeld hebben door f : ze liggen op dezelfde vezel). Nu we op de goede weg zijn: door elk punt (z₁,z₂) kan men ook de "symmetrische" cirkel beschouwen van de punten van de vorm (ω.z₁, ω^-1.z₂) en dat geeft ons een vierde cirkel op de rotatietorus.

Zo hebben we aangetoond dat door elk punt op een rotatietorus vier cirkels gaan: een lengtecirkel, een breedtecirkel, een cirkel van Hopf, en een symmetrische cirkel van Hopf.

In feite was dat al lang gekend. Men spreekt gewoonlijk over de cirkels van Villarceau, naar de naam van een wiskundige uit de negentiende eeuw. Maar zoals de lezer al zal begrepen hebben, het komt niet veel voor in de wiskunde dat een stelling te danken is aan diegene wiens naam ze draagt, zeker als het ganse proces van uitvinding/assimilatie lang en complex is. Een trap in het museum van de kathedraal van Straatsburg, die dateert uit de zestiende eeuw, toont tenandere dat men niet op Villarceau gewacht heeft om cirkels uit te snijden op een torus.

In het tweede deel van dit hoofdstuk tonen we de cirkels van Villarceau op een manier die niet afhangt van de Hopf vezeling. Men neemt een rotatietorus, men snijdt met een bitangent vlak, en stelt vast dat op de snede twee cirkels liggen.

Hoe dit bewijzen? Men kan vergelijkingen opschrijven, en berekenen..Dat is mogelijk, (zie hier) maar verduidelijkt de zaak niet echt. De algebraische meetkunde laat echter toe om dit op een grandioze manier te bewijzen, bijna zonder berekeningen. Men moet daarvoor het concept van "cyclische punten" gebruiken. Dit zijn punten die niet alleen op oneindig liggen, maar ook imaginair zijn! U ziet het, de verbeelding staat voor niets! Een bewijs voor de stelling van Villarceau volgens dit soort ideeên vindt U hier.

Ee oppervlak in de ruimte van dimensie 3 kan beschouwd worden als een oppervlak van S³ door een punt op oneindig toe te voegen. Aangezien S³ de eenheidssfeer is in de ruimte van dimensie 4 kan men rotaties van die sfeer doen in dimensie vier, en dan opnieuw stereografisch projecteren naar de ruimte van dimensie 3! Men bekomt zo een ander oppervlak dat lijkt op het vorige, maar toch verschillend is! Als men vertrekt van een rotatietorus dan vormt men zo oppervlakken die gekend zijn als de cycliden van Dupin , en die uitgebreid bestudeerd zijn in de negentiende eeuw. Aangezien de stereografische projectie cirkels die niet door de projectiepool gaan projecteert als cirkels, zullen ook op de cycliden vier cirkels door elk punt gaan, want men vertrekt van cirkels op een rotatietorus.

Als men een rotatietorus in de ruimte van dimensie 3 neemt als stereografische projectie van een oppervlak in S³, en men laat dat oppervlak draaien in de ruimte van dimensie 4, dan ziet men in de film een cyclide van Dupin die vervormt, en op een zeker ogenblik, als ze door de projectiepool gaat, oneindig groot wordt en dan terugkomt naar de begintoestand. Hierbij zijn echter de lengtecirkels getransformeerd in breedtecirkels, en vice versa en de torus is binnenste buiten gedraaid!

De meetkunde van cirkels in de ruimte is prachtig. Ze draagt soms de naam van anallagmatische meetkunde, en daar valt veel over te vertellen, en er is veel te tonen!

5. Hopf en de homotopie

Om te eindigen enkele opmerkingen over de drijfveren van Hopf, waarover in de film spijtig genoeg niet gesproken wordt.

In topologie werkt men dikwijls met het geval waarin X en Y topologische ruimten zijn. Daarvan geven we hier de definitie niet, maar X en Y kunnen bijvoorbeeld de sferen van dimensie n en p zijn. Tot hiertoe hebben we enkel gesproken over de sferen van dimensie 0, 1, 2 en 3 maar U kan zich wel indenken dat het verhaal daar niet ophoudt....Het zou natuurlijk niet erg interessant zijn om gelijk welke functie te bestuderen, en men concentreert zich op continue functies, functies waarbij het punt f(x) niet veel verandert als x niet veel verandert. Zo is bijvoorbeeld de functie die aan een reëel getal x het getal +1 associeert als x niet gelijk is aan nul, en -1 als x wel nul is, niet continu want die functie "springt" als men door nul gaat. De functie die aan elk getal x zijn kwadraat x² associeert is wel continu: als een getal een klein beetje verandert, dan verandert het kwadraat ook een klein beetje. Een van de fundamentele problemen in de topologie is dus het begrijpen van de continue functies tussen topologische ruimten, bijvoorbeeld tussen sferen.

In feite is de topoloog niet zo veeleisend; hij probeert homotopieën te begrijpen. Weer een moeilijk woord voor een simpel begrip! Stel dat we twee continue functies f₀ en f₁ hebben van de sfeer Sⁿ naar de sfeer S^p. Men zegt dat f₀ en f₁ homotoop zijn als men de eerste zo kan vervormen dat men ze omzet in de tweede. Anders gezegd betekent dit dat er een familie van functies f_t bestaat die afhangt van een parameter t die tussen 0 en 1 ligt. Men kan dan een elk punt x van Sⁿ , en aan elk getal t tussen 0 en 1 een punt f_t(x) associëren, waarbij f_t een continue functie van x is, en t zo is dat men f₀ heeft voor t=0, en f₁ voor t=1.

Hier is een voorbeeld: een functie f: S¹→ S² is niets anders dan een gesloten curve die op een sfeer van dimensie 2 getekend is. De functie f₀ is bijvoorbeeld diegene die alle punten x van S¹ naar de noordpool stuurt : Dit is war men een constante functie noemt. De functie f₁ kan dan bijvoorbeeld de functie zijn die de cirkel S¹ naar de evenaar van S²stuurt. Zeggen dat twee functies homotoop zijn, is zeggen dat men de evenaar geleidelijk kan transformeren in de noordpool, en dat is wat we zien in de figuur rechts. Men stelt vast dat dit altijd het geval is: twee willekeurige functies van S¹ naar S² zijn altijd homotoop. De topoloog zegt dat alle curves op de sfeer S² homotoop zijn aan constante curves, of nog dat S² enkelvoudig samenhangend is. Het zou ook niet moeilijk zijn om er zich an te overtuigen dat hetzelfde waar is voor al de sferen S^p, voor alle dimensies groter of gelijk aan twee.

Een functie tussen S¹ en S¹ bestaat erin om elk punt van een cirkel te transformeren in een ander punt van die cirkel. Een dergelijke functie heeft een graad : het is het aantal toeren dat ze maakt. De constante functie draait helemaal niet, en heeft graad 0. De identieke functie die elk punt naar zichzelf stuurt maakt 1 toer en heeft graad 1. De functie die elk complex getal met module 1 naar zijn kwadraat stuurt verdubbelt het argument. Als men dus eenmaal de cirkel rondgaat, dan gaat het kwadraat twee keer rond: de graad is 2. Als men een functie vervormt, dan verandert daarmee de graad niet ( en dat is niet evident!), zodat er functies bestaan van S¹ naar S¹ die niet homotoop zijn aan constante functies...Het is wat moeilijker om in te zien dat twee functies van dezelfde graad homotoop zijn.

Wat met functies tussen S² en S²? Dit is analoog aan het geval S¹ naar S¹: men kan hier ook een graad bepalen, maar het gaat niet meer over "toeren tellen": men moet nu tellen hoe dikwijls het beeld van f de sfeer "bedekt", en dat is niet gemakkelijk te bepalen. Het eenvoudigste voorbeeld is de identiteit: de functie die elk punt naar zichzelf stuurt: deze heeft graad 1. Men kan vermoeden dat het niet mogelijk is om de identiteitsfunctie van de sfeer S² te vervormen om ze constant te maken zonder de sfeer te scheuren, maar het bewijs daarvoor lag niet voor de hand!

De verassing kwam in 1931 toen Heinz Hopf aantoonde dat sommige functies van S³ naar S² niet continu vervormd kunnen worden naar constante functies. Zijn voorbeeld is natuurlijk de Hopf vezeling die we juist gezien hebben, en dat is een zeer belangrijk object geworden, niet alleen voor de wiskunde, maar ook voor de fysica.

Het feit dat vezels verbonden zijn zoals de schakels van een ketting brengt met zich mee dat de functie van Hopf f: S³→ S² niet kan vervormd worden naar een constante functie, en dit vergt meer uitleg dan er hier plaats voor is! Zie dit boek voor een volledige, maar moeilijke uitleg, of zelfs het originele artikel van Hopf voor een bewijs en veel meer details..

Wat weet men over de functies tussen Sⁿ en S^p met willekeurige waarden voor n en p? Men weet daarover heel veel, maar nog lang niet alles: de "homotopie klassen tussen sferen" blijven nog grotendeels een mysterie!

Deze "vezeling van Hopf" is maar één van de bijdragen van Heinz Hopf. Hij heeft de wiskunde van de twintigste eeuw grondig beïnvloed.