Hoofdstuk 2 : dimensie drie

M.C. Escher vertelt de avonturen van tweedimenionale wezens die zich driedimensionale voorwerpen proberen voor te stellen.

1. De presentator

M.C. Escher (1898-1972) was een uitzonderlijk kunstenaar wiens werken een buitengewone aantrekkingskracht hebben op wiskundigen. Zijn gravures tonen paradoxale werelden, verbazende vlakverdelingen, oneindige perspectieven: allemaal dingen waarmee men wiskundigen plezier kan doen! De officiele website bevat zijn biografie, en een grote verzameling reproducties van zijn gravures.

J. S. Bach (1685-1750) is een andere kunstenaar die fascinerend is voor wiskundigen (en natuurlijk vele anderen !). Ook in de werken van Bach vindt men verbazende symmetrieën.

Kurt Gödel (1906-1978) was een wiskundige die een revolutie teweeg gebracht heeft in de logica, en ook hij beschouwde symmetrieën die delen verbinden met het geheel.

Een merkwaardig boek, "Gödel Escher Bach" onderzoekt de diepe banden tussen deze drie uitzonderlijke personnages.

Een van de beroemdste gravures van Escher heet Reptielen. Neem de tijd om ze hier goed te bekijken, want in de film glijdt ze nogal snel voorbij. Op een bladzijde van een schrift ziet men een vlakverdeling met reptielen die perfect in mekaar passen.

Zo ziet een platte wereld eruit: de hagedissen die op dat blad papier leven kennen enkel dat blad, en hebben geen benul van de ruimte die hen omringt. Wij kunnen ze zien, en we weten dat hun platte wereld niet meer is dan een blad papier, maar de hagedissen weten dat niet.

Een van de hagedissen heeft het geluk dat hij kan ontsnappen, en onze wereld kan bezoeken. We zien hem geleidelijk dikker worden, op een boek klimmen, een winkelhaak als brug gebruiken naar een verhoog in de vorm van een dodecaëder, alvorens weer naar beneden te komen en zijn plaats in de platte wereld weer op te nemen, verrijkt door zijn belevenis, zoals een ontdekkingsreiziger die net een nieuw continent ontdekt heeft.

De gravure roept een filosofische overpeinzing op: als de hagedissen geen weet hebben van wat hen omringt, zijn wij dan niet in dezelfde situatie? Zou er geen wereld bestaan "buiten" de onze, die we met onze zintuigen niet kunnen waarnemen? De symboliek ontbreekt tenandere niet op de gravure. We zien de vier elementen waaruit volgens Plato de wereld bestaat: het water in het glas, de lucht die ontsnapt uit de neusgaten van de hagedis, de aarde in de pot, het vuur (voorgesteld door het luciferdoosje), en zelfs de dodecaëder, het kwintessens of vijfde element...En de sigarettenvloeitjes van het merk Job: een bijbelse allusie?

Het doel van dit hoofdstuk is ons voor te bereiden op de vierde dimensie. Om ons in staat te stellen ons een vierde dimensie voor te stellen, gaan we beginnen met een manier te zoeken om aan platte hagedissen het bestaan van de derde dimensie uit te leggen. We beelden ons in dat we de uitverkoren hagedis zijn (de filosoof?, de wiskundige?) die het voorrecht krijgt om uit het blad te ontsnappen, en op een dodecaêder te klimmen. Wij zijn in de derde dimensie, en we zien voorwerpen zoals een bloempot, een boek, een winkelhaak ..en het is onze taak om deze voorwerpen te "tonen" aan de andere hagedissen die deze zaken niet kunnen zien omdat ze gebonden zijn aan het blad, en er niet uit weg kunnen.

2. "Het platte land"

3. De Platonische lichamen

Welke voorwerpen uit onze ruimte zullen we "tonen" aan de platte hagedissen? We kunnen een bloempot nemen, of een boek, maar we blijven liever wat dichter bij de filosofie, en we nemen de vijf regelmatige veelvlakken van Plato.

Sommige van deze voorwerpen kennen we goed, de kubus bijvoorbeeld. Andere komen we al minder vaak tegen, zoals de tetraëder. Om de rest in de natuur te herkennen moet men al goed uitkijken.

Neem bijvoorbeeld een icosaëder, met zijn 12 hoekpunten, en snij de toppen eraf zoals in de figuur links. We krijgen dan een voorwerp met 20 zeshoeken en 12 vijfhoeken. Die vijhoeken ontstaan waar we gesneden hebben, en ze liggen op de zijvlakken van een dodecaëder. U herkent zeker de vorm van een voetbal..

Deze objecten zijn polyeders of veelvlakken, en dat wil letterlijk zeggen dat ze meerdere zijvlakken hebben! We willen hier geen complexe theorie over polyeders tonen. We willen alleen vijf mooie ruimtelijke objecten uitkiezen, en we gaan ze proberen tonen aan de hagedissen: in zekere zin hen proberen uit te leggen wat een voetbal is!

Er bestaan veel polyeders (eigenlijk oneindig veel), maar er zijn er maar vijf regelmatige. We gaan ook hier niet diep ingaan op de juiste betekenis daarvan, maar merk op dat bij de vijf regelmatige veelvlakken de zijvlakken allemaal van hetzelfde type zijn. ( bijvoorbeeld bij de dodecaëder zijn alle zijvlakken regelmatige vijfhoeken, dus met zijden die allemaal even lang zijn), en dat alle hoekpunten van hetzelfde type zijn ( bijvoorbeeld bij de kubus vertrekken er uit elk hoekpunt exact drie ribben). Deze eigenschappen zijn (bijna) voldoende om de objecten te beschrijven die we aan de hagedissen willen tonen. 

Om meer te weten over polyeders is er bijvoorbeeld deze pagina, en om nog veel meer te weten over de vijf regelmatige veelvlakken, hun geschiedenis en hun symmetrieën kan men deze pagina (Engels) bekijken. Deze objecten zijn echte fetisj objecten voor wiskundigen, want ze symboliseren het concept van symmetrieën (dat in de film echter niet aan bod komt). 

4. De sneden

Een eerste idee om aan hagedissen uit te leggen hoe een tetraëder eruit ziet, is hem in schijfjes te snijden. Dit is al een zeer oud idee, en Edwin Abbott gebruikte het uitbundig in zijn boek. Het is in zekere zin hetzelfde als tomografie, een techniek van medische beeldvorming om het lichaam snede per snede te onderzoeken, en daarna een beeld samen te stellen in drie dimensies op basis van de opeenvolgende sneden.

Als een polyeder zich verplaatst in de ruimte, en het vlak van de hagedissen tegenkomt, dan is de snede met het vlak een veelhoek. Naarmate de polyeder zich verplaatst zal de veelhoek vervormen, en helemaal verdwijnen als de polyder het vlak voorbij is.  (zoals De man die door muren loopt van Marcel Aymé ?). De hagedissen zien enkel de veelhoeken, maar ze zien ze op een dynamische manier: ze kunnen zien hoe ze vervormen. Met wat ervaring gaan ze misschien uiteindelijk zich een beeld kunnen vormen van die polyeder die ze niet ruimtelijk kunnen zien.

Dat alles roept vele vragen op. Bijvoorbeeld, hoe kunnen hagedissen in een vlak een veelhoek zien? Moeilijke vraag! We kunnen het hen niet vragen. Als men er echter wat over nadenkt, dan ziet men in dat wij hetzelfde probleem hebben. Hoe zien wij voorwerpen met drie dimensies, waarvan de projectie in ons oog terechtkomt op ons netvlies, en dus maar twee dimensies heeft? Er zijn veel antwoorden. Vooreerst hebben wij twee ogen die niet exact hetzelfde zien, en onze hersenen gebruiken die twee lichtjes verschillende beelden om een beeld van drie dimensies samen te stellen.

Maar er is ook het effect van schaduwen, lichtinval, enz. waaruit we informatie afleiden die ons iets zegt over de afstand waarop het object zich bevindt.

Tenslotte, en misschien vooral, hebben we ervaring met de wereld die ons omringt : als we een foto van een voetbal zien, dan herkennen we dat, niettegenstaande het feit dat de foto plat is, want we hebben dat al eerder gezien, en we hebben al eens een voetbal in onze handen gehad.

Laat ons dus niet aarzelen om onze hagedissen twee ogen te geven, en ervaring met hun wereld. Als ze een zeshoek tegenkomen, dan kunnen ze die herkennen. In het boek van Abbott komen al deze vragen met veel humor aan bod.

In de film ziet men de vijf regelmatige polyeders die het vlak doorkruisen, en men ziet de sneden/veelhoeken die vervormen. Het is geen gemakkelijke zaak want de sneden hangen af van de manier waarop de polyeder door het vlak vliegt. Als een kubus zich bijvoorbeeld aandient met een zijvlak evenwijdig met het vlak, dan krijgen we geen verassing: de sneden zijn vierkanten. Als men daarentegen een kubus snijdt met een vlak door zijn middenpunt, loodrecht op een diagonaal van de kubus, dan is de snede een regelmatige zeshoek, en dat ligt al minder voor de hand!

Nadat alle polyeders het vlak doorkruist hebben komt Escher met oefeningen. Hij toont veelhoeken in het vlak die vervormen, en U moet raden welke polyeder bezig is het vlak te doorkruisen, alsof U een platte hagedis was! Deze oefening is niet eenvoudig, en we wensen U geluk! De methode van de sneden is dus niet ideaal, en we moeten nog iets anders vinden...

5. De stereografische projectie

Hier is een tweede idee, dat op het eerste zicht wat bizar lijkt, maar dat zeer nuttig zal zijn voor het vervolg (wanneer het onze beurt is om "plat" te zijn, platgedrukt in drie dimensies, en iemand van ons wordt uitgekozen om ons objecten in vier dimensies te tonen). We hebben geleerd hoe we een sfeer, de Aarde, kunnen projecteren op een vlak door middel van de stereografische projectie, en we hebben gezien dat, hoewel deze projectie de lengten verandert, ze toch een vrij nauwkeurig beeld geeft van de geografie van de Aarde. (vooral als we de Aarde laten rollen op een vlak)

We zouden hier hetzelfde kunnen doen: de vijf polyeders laten rollen op een vlak en ze stereografisch projecteren . Een kubus wil natuurlijk niet goed rollen. We blazen daarom de polyeders op tot ze juist op een sfeer liggen. Laten we dat eens doen met de kubus.

Het oppervlak van een kubus bestaat uit 6 vierkante zijvlakken. We projecteren deze zes vlakken radiaal vanuit het middenpunt op een sfeer die door de acht hoekpunten gaat. We hebben zo in zekere zin de kubus opgeblazen en helemaal rond gemaakt. Zo krijgen we een sfeer met zes zones, die nu niet meer vierkant zijn, want hun randen zijn stukken van cirkels.Toch bekomen we zo een goed beeld van de kubus die het voordeel heeft te kunnen rollen op een vlak als een bal.

Zo moeten we ons dan een Aarde voorstellen met zes werelddelen die de zes zijvlakken van de kubus zijn. We kunnen nu met de kubus doen wat we met de Aarde deden: stereografisch projecteren op een vlak en de sfeer laten rollen. De dans van de continenten wordt de dans van de zes zijvlakken van een kubus!  Aangezien de ribben van de opgeblazen kubus nu cirkelbogen zijn, en we geleerd hebben dat de stereografische projectie cirkels projecteert als cirkels of rechte lijnen op het vlak, zullen we de projectie van de opgeblazen kubus zien met "vierkante" zijvlakken waarvan de randen cirkelbogen of lijnstukken zijn. De platte hagedis ziet die projectie: hij moet zich inbeelden dat hij in een vlak is dat een sfeer raakt (die hij niet kan zien) in de zuidpool. De hagedis ziet de zes zijvlakken van de kubus geprojecteerd op het vlak. Wat hij zo ziet geeft hem al de informatie die hij nodig heeft: hij kan de hoekpunten tellen, de ribben, de zijvlakken, en hij kan hun relatieve posities begrijpen...en als de sfeer rolt geeft de dans van de zijvlakken nog een beter idee van wat er zich afspeelt. 

Het is deze methode die getoond wordt in het tweede deel van dit hoofdstuk. Eerst kijken we door de ogen van een wezen van drie dimensies dat alles ziet: de polyeder, de opgeblazen polyeder, de sfeer en de projectie op het vlak van de hagedissen. Daarna is het Uw beurt om de plaats in te nemen van de platte hagedissen, en U krijgt enkel de projectie te zien; Escher doet dan beroep op Uw verbeelding om te zien over welke polyeder het gaat. Deze oefening is ook niet zeer gemakkelijk, maar toch niet zo moeilijk als die met de methode van de sneden.

Deze oefeningen zijn nuttig voor het vervolg. Herinner U dat U binnenkort in de situatie zal zijn van een arm menselijk wezen dat niets kan zien in de vierde dimensie. Iemand die dat wel kan zal moeite doen om U te tonen wat hij/zij ziet, en zal dan ook zowel de methode van de sneden als die van de projectie gebruiken.