الفصــل 2 : البعد ثلاثة

م. ك. إيشر يحكي مغامرات مخلوقات من البعد 2 تسعى إلى تصور أشياء من البعد 3.

1. المقدم

كان م. ك. إيشر (M.C. Escher:1898-1972) فنانا متميزا وقد أبهرت أعماله كثيرا من علماء الرياضيات. وقد أظهرت رسوماته المنقوشة عوالم متناقضة، تبليطات بتناظرات مدهشة وأنواعا من المنظور اللامنتهي؛ وهو ما يكفي لإمتاع علماء الرياضيات. أنظروا إلى سيرته الذاتية هنا،  والموقع الرئيس من أجل مجموعة كبيرة من صور رسوماته المنقوشة. 

ج. س. باخ  (J. S. Bach:1685 - 1750) هو فنان آخرسحر الرياضياتيين (من بين آخرين !). إنه بدوره يبين لنا تناظرات مدهشة.

كورت قوديل  (1978 - 1906: Kurt Godel) كان رياضياتيا قام بثورة في المنطق، مستغلا بدوره تناظرات تربط شيئا كله بأحد أجزائه. 

وهذا كتاب جدير بالملاحظة "باخ  إيشر قوديل "  يستكشف هذه العلاقة العميقة التي تربط هذه الشخصيات المتميزة.

كان أحد رسومات إيشرالشهيرة تحت عنوان زواحف. خذوا هنا الوقت الكافي لمشاهدته لأنه مع الأسف يمر بسرعة في الفيلم. نشاهد على صفحة كراس رسم تبليطات تتداخل فيه حراذين (زواحف) مسطحة بإتقان.

إنها صورة عالم مسطح : الحيوانات المسطحة التي تعيش على هذه الصفحة لا تعرف إلا هذه الصفحة، إنها تجهل الفضاء الذي يحيط بها. نحن نراها، ونعلم أن عالمها المسطح ما هو إلا صفحة من كراس يقع في فضائنا، لكن الزواحف المسطحة تجهل ذلك.

و قد حالف الحظ أحد هذه الزواحف لينفلت من المستوي ويزور عالمنا :إننا نراه في الأسفل يأخذ سُمْكا تدريجيا، يتسلق كتابا، يستعمل كوسا جسرا يوصله إلى مرتفع عل شكل ذي الاثني عشر وجها، قبل أن ينزل ويأخذ موقعه في عالمه المسطح وهو غني بتجربته الجديدة مثل مستكتشف قام باكتشاف قارة جديدة.

يدعو الرسم إلى تفكير فلسفي: إذا كانت هذه الزواحف تجهل وجود العالم الخارجي، ألسنا نحن في نفس الوضعية تلك؟ ألا يوجد عالم "خارج" عن عالمنا والذي لا تسمح لنا حواسنا بالوصول إليه؟ من ناحية أخرى إن التلميحات الفلسفية متوفرة بكثرة في هذا الرسم. نشاهد فيه العناصرالأربعة التي تشكل العالم حسب أفلاطون: الماء في الكأس، الهواء المنبعث من منخري الحِرْذوْن، االتراب في الإناء، النارالمستوحاة من علبة أعواد الثيقاب، وحتى ذوالاثني عشر وجها الذي يمثل الجوهر، العنصر الخامس... هل ورق السيجارة من نوع "جوب" تلميح توراتي؟

الهدف من هذا الفصل هو أن نستعد للبعد الرابع. ولكي نتمكن من مواجهة البعد الرابع الذي يسمو بنا، سنبدأ بتصوراستراتيجيات لنشرح لحيوانات مسطحة وجود البعد الثالث. سنتخيل أننا ذاك الحيوان المختار من السماء (الفيلسوف؟ العالم بالرياضيات؟) والذي كان له الحظ بأن يخرج من الصفحة ويصعد على ذي اثني عشر وجها. نحن في الفضاء الثلاثي الأبعاد،  نرى فيه أشياء، إناء، كتابا، كوسا، ذا الاثني عشر وجها، ومهمتنا هي أن "نبين هذه الأشياء" للحيوانات الأخرى التي لا تستطيع رؤيتها كونها في مستو لا تستطيع الخروج منه.  

2. "البلد المسطح"

3.  مجسمات أفلاطون 

ماهي في فضائنا الأشياء التي "سنبينها" للحيوانات المسطحة؟ يمكن أن نبين لها إناء زهور أوكتابا، لكننا سنبقى في التلميح الفلسفي ونبين لها مجسمات أفلاطون الخمسة.

بعض هذه الأشياء مألوف لدينا، المكعب على سبيل المثال، والبعض الآخر نصادفه أحيانا مثل رباعي الوجوه. وهناك من هذه الأشياء ما هو نادر ويتطلب دقة الملاحظة ليُشاهد في الطبيعة.

خذوا على سبيل المثال ذا الاثني عشر وجها برؤوسه الاثني عشر واقطعوا رؤوسه مثلما هو مبين في الشكل عن اليسار. تحصلون على شيء مكون من 20 من سداسيات الأضلاع و 12 من خماسيات الأضلاع. خماسيات الأضلاع هذه تأتي من الاثني عشر رأسا المقطوعة وهي موجودة على وجوه ذي اثني عشر وجها. وها نحن نتعرف على كرة قدم...  

هذه الأشياء هي متعددات وجوه، وذلك يعني حرفيا أن لها عدة وجوه! وهدفنا هنا ليس الدخول في نظرية معقدة لمتعددات الوجوه. نحن نريد ببساطة اختيار خمسة أشياء جميلة في الفضاء ومحاولة تبيانها للزواحف. بعبارة أخرى شرح ما هي كرة قدم لحرذون!  

هناك الكثير من متتعددات الوجوه (عدد غير منته بطبيعة الحال)، لكن من بينها خمسة فقط منتظمة. هنا أيضا لا نود الدخول في تفاصيل تعريف هذه الكلمة، لكن لاحظوا أن من أجل كل واحد من متتعددات الوجوه المنتظمة الخمسة هذه، فإن كل الوجوه من نفس الطبيعة (على سبيل المثال، إن كل وجوه ذي الاثني عشر وجها خماسيات أضلاع منتظمة حيث كل الأحرف من نفس الطول) وأن كل الرؤوس من نفس الطبيعة (على سبيل المثال، فمن كل رأس من المكعب تنطلق ثلاثة أحرف بالضبط). هذه الخصائص تكفي (تقريبا) لتمييز الأشياء الخمسة التي نريد تبيانها للزواحف.    

ولمعرفة المزيد عن متعددات الوجوه، تستطيعون العودة إلى هذه الصفحة، وللاطلاع على المزيد حول متعددات الوجوه المنتظمة الخمسة، على تاريخها وتناظراتها، يمكن الرجوع إلى هذه الصفحة. هذه الأشياء هي من بين الأشياء المقدسة بالنسبة إلى علماء الرياضيات، كونها ترمز إلى مفهوم التناظرالذي لم يقم الفيلم بتفصيله مع الأسف.

4. المقاطع

وفكرة أولبة لتفسير ما هو رباعي وجوه للزواحف هي أن يتم قطعه إلى قطع أو شرائح. هذه الفكرة عريقة في القدم وقد استخدمها إدوين إبوت كثيرا في كتابه. وهي تقريبا ما هو مستعمل في الطوموغرافيا  وهي تقنية للتصوير الطبي تقضي بفحص جسم المريض "قطعة قطعة" ثم القيام بعد ذلك بتركيب الشيء ذي البعد 3 انطلاقا من مقاطعه المتتابعة.  

لمّا ينتقل متعدد وجوه في الفضاء و يلاقي مستوي الزواحف فسيكون التفاطع مضلعا. ولمّا ينتقل متعدد الوجوه فإن المضلع يتشوه وينتهي به الأمر إلى الزوال لمّا ينتهي من عبور المستوي (هل يمكن أن تكون متعددات الوجوه عابر الجدار لـ مارسيل إيمي (Marcel Aymé)؟). إن الزواحف لا ترى سوى المضلعات لكنها تراها بطريقة ديناميكية: تستطيع أن ترى كيف هي تتشوه. وبقليل من التجربة سينتهي بها الأمر (ربما!) إلى تكوين حدس لما يمكن أن يكون فعلا متعدد الوجوه هذا والذي لا تستطيع رؤيته في الفضاء.

يثير كل ذلك أسئلة متعددة. على سبيل المثال، لمّا كانت الزواحف في مستو فما الذي من الممكن أن تفعله لمشاهدة مضلع؟ إنه سؤال معقد! ومن المستحيل أن نطرح عليها هذا السؤال. لكننا عندما نفكر قليلا فسنفهم أن ذات المشكل مطروح بالنسبة إلينا. كيف نتصرف لمشاهدة أشياء في الفضاء الثلاثي الأبعاد إذا كانت صوّرها تسقط على شبكية عيوننا وهي بالتالي من البعد 2؟ هناك إجابات كثيرة على ذلك. أولا، لدينا عينان وهما لا تريان نفس الشيء بالضبط ودماغنا يستخدم هاتين الصورتين من البعد 2 لإنشاء صورة من البعد 3 ذهنيا. 

لكن هناك أيضا تأثيرات الظل، الإضاءة، إلخ. والتي تعطينا معلومات جزئية حول المسافة التي تفصلنا عن هذه الأشياء.    

أخيرا،  إن لنا تجربة حول العالم الذي نعيش فيه: عندما نشاهد صورة لكرة قدم فإننا نتعرف عليها وإن كانت هذه الصورة في مستو، لأنه سبق لنا أن رأينا ولمسنا كرات قدم.    

إذن فلا نتردد في منح عينين لحيواناتنا المسطحة وفي السماح لها بتجربة في عالمها. وإذا تقدم أمامها سداسي أضلاع فهي قادرة بما فيه الكفاية لأن تعيَه. كل هذه التساؤلات تمت مناقشتها بطريقة طريفة جدا في كتاب إبوت. 

نشاهد في الفيلم متعددات الوجوه المنتظمة الخمسة وهي تعبر المستوي ونقوم بتبيان المقاطع/ المضلعات وهي تتشوه. هذا ليس شيئا سهلا لأن المقاطع تتعلق بالطريقة التي تجتاز بها متعددات الوجوه المستوي. على سبيل المثال إذا تقدم مكعب بطريقة يكون فيها أحد وجوهه موازيا للمستوي فلن تكون هناك أي مفاجأة : المقاطع هي مربعات. لكننا إذا قطعنا مكعبا بمستو يمر من مركزه ويعامد أحد أقطاره فإن التقاطع يكون سداسي أضلاع منتظما وربما يكون ذلك أقل وضوحا. 

وبعد أن شاهد إيشر متعددات الوجوه وهي تجتاز المستوي، هاهو يقترح عليكم تمارين. إنه يبين لكم مقاطع مضلعة في المستوي وعليكم أن تكشفوا متعدد الوجوه الذي يجتاز المستوي وكأنكم حيوان مسطح. حظ سعيد بالنسبة إلى هذا التمرين غير البسيط كما سترون. إذن فطريقة المقاطع محدودة وعلينا إيجاد شيء آخر...    

5. الإسقاط المِجْسامي

هاهي فكرة ثانية من الممكن أن تبدو غريبة، لكنها ستكون فيما بعد مفيدة إلى أقصى حد (لمّا نكون بدورنا "مسطحين" في البعد الثالث ولمّا سيحاول "مختار" أن يرينا أشياء من عالمه الرباعي الأبعاد...). لقد تعلمنا إسقاط الكرة على مستو بإسقاط مجسامي ورأينا أنه وإن غيّر هذا الإسقاط الأطوال فإنه يعطي فكرة واضحة حول جغرافيا الأرض، خاصة إذا ما جعلناها تتدحرج على مستو... نستطيع القيام بنفس الشيء فنجعل متعددات الوجوه الخمسة تتدحرج على مستو ونقوم بإسقاطها مجساميا. والمشكلة هنا هي أننا لا نستطيع دحرجة مكعب لأنه ليس مستديرا. لذا ننفخ في متعددات الوجوه كما في كرة  لتصير مستديرة. لنرسم على سبيل المثال مكعبا داخل كرة.

يتكون سطح المكعب من أربعة وجوه مربعة. لنسقط هذه الوجوه "شعاعيا" على الكرة انطلاقا من المركز. نحن تقريبا ننفخ المكعب حتى يصير كرويا. الكرة الآن مغطاة بست مناطق ليست بطبيعة الحال مربعة بما أن حافاتها أقواس دوائر. لكننا نحصل على صورة جيدة للمكعب الدي يستطيع الآن التدحرج مثل كرة.

نستطيع إذن أن نتصور أرضا عليها ست قارات هي الوجوه الستة لهذا المكعب المنتفخ. نستطيع أن نفعل بهذا المكعب الشيء الذي سبق أن فعلناه بالأرض: إسقاطه مجساميا على مستو ثم القيام بدحرجة الأرض. إن رقصة القارات تصير رقصة وجوه المكعب الستة. وبطبيعة الحال بما أن أحرف المكعب المنتفخ أقواس دوائر وبما أنه سبق أن رأينا أن الإسقاط المجسامي يُحول الدوائر على الكرة إلى دوائر أو مستقيمات على المستوي، فإن مسقط هذا المكعب على المستوي سيعرض علينا وجوها "مربعة"، أضلاعها أقواس دوائر أوقطع مستقيمة. إن الحيوان المسطح يشاهد المسقط : عليه أن يتصور أنه في مستو مُماس في القطب الجنوبي لكرة هو لا يراها ويخمن الوجوه الستة للمكعب المنتفخ التي تُسقط على المستوي. إن ما يراه في مستويه سيعطيه كل المعلومات التي هو في حاجة إليها : فهو يستطيع حساب الرؤوس، الأحرف، الوجوه؛ وهو يستطيع فهم مواضعها المتتالية. وإذا ما دارت "الكرة - الأرض" فإن رقصة الوجوه ستعطيه رؤية هي أيضا أكثر دقة.  

. 

إن هذه الطريقة هي التي نبينها في الجزء الثاني من هذا الفصل. أولا نشاهد الكل من رؤية كائن من البعد 3 بشاهد كل شيء :  متعدد الوجوه، متعدد الوجوه المنتفخ، الكرة والمسقط على مستوي الزواحف. ثم يأتي دوركم أنتم لأخذ مكان الزواحف المسطحة ولكي لا تشاهدوا سوى المسقط. يدعو إيشير بعد ذلك خيالكم لكي تتمكنوا من التخمين بأي متعدد وجوه يتعلق الأمر. هذا التمرين من جهته ليس بسيطا لكنه يبدو أسهل مما كان عليه الأمر مع طريقة المقاطع.

سوف تكون هذه التمارين مفيدة فيما بعد. تذكروا : بعد قليل ستكونون في موضع إنسان ضعيف من البعد الثالث، غير قادرعلى أن يرى في البعد الرابع! وإذا كانت لأي كان موهبة الرؤية في البعد الرابع فسيعمل قصارى جهده ليبين لكم ما سيراه. سيستخدم هوأيضا مقاطع وإسقاطات.